Геометрия, 11 класс.

Семинар по теме «Цилиндр и конус».

Т.Л. Михайлова, МБОУ СОШ №6

г. Морозовск

Цели:
1)систематизировать знания, полученные при изучении темы; расширить кругозор учащихся по данному вопросу; уделить серьезное внимание развитию пространственных воображений, правильному построению стереометрических чертежей, а главное – приобщить к искусству «… правильно рассуждать на неправильных чертежах» (Д. Пойа) и применять полученные знания на практике. 2)способствовать
-
развитию творческих способностей учащихся в ходе выполнения ими самостоятельных творческих заданий; - привитию и развитию навыка логических рассуждений, анализа и синтеза; - формированию умения каждого ученика, как представителя группы, формулировать коллективное мнение. 3) способствовать - мотивации заниматься изучением геометрии; - развитию умения вести индивидуальную, групповую и самостоятельную работу по изучению учебного материала, решению задач; -формированию чувства коллективизма и взаимопомощи, ответственности каждого за конечные результаты, этического поведения при обсуждении, ораторского мастерства, самооценки качества своего труда.
Оборудование
: 1. Презентация. Чертежи с изображением цилиндра, конуса, их сечений; усеченного конуса. 2. Таблицы – рисунки с изображением тел вращения. 3. Предметы, имеющие цилиндрическую форму и форму конуса. 1
4. Модель, которая дает наглядное представление о том, что цилиндр можно получить вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон, конус – вокруг одного из катетов прямоугольного треугольника, усеченный конус – вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию прямоугольной трапеции. 5. Модель из нитей (сечения из цветной бумаги). 6. Развертки цилиндра, конуса, усеченного конуса (из цветной бумаги). 7. Трафареты для изображения эллипса на доске и в тетрадях учащихся. 8. Стакан цилиндрической формы, колба формы конуса, заполненные подкрашенной водой для демонстрации сечений. Учащиеся класса разбиты на группы, каждая из которых готовит сообщения по указанной теме (каждая группа изучает и излагает теоретический материал по указанной теме, использует дополнительную литературу, исторические сведения, готовят решения нескольких типовых задач по теме.) 1 группа «Цилиндр» 2 группа «Конус» 3 группа «Усеченный конус» 4 группа «Решение типовых задач по теме» 5 группа «Нестандартные задачи» На столах учащихся (для «слабых» и «средних») находятся карточки с вопросами, на которые в течение работы семинара они должны ответить. Группа «сильных» учащихся решает задачу №3 из задач для 5 группы.
Вопросы к семинару «слабым».
1. Какое тело называется конусом? Что такое основание, образующая, ось и высота конуса? 2. Как найти боковую и полную поверхности цилиндра? 3. Назовите автора «Конических сечений». 2
4. Прямоугольник со стороной
а
и
2а
вращается вокруг прямой, содержащей сторону
а
. Найдите площадь полной поверхности полученного при этом вращении цилиндра. 5. Радиусы оснований усеченного конуса 3м и 6м, высота 4м. Найдите образующую. 6. Радиус основания цилиндра 4см. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра. 7. Запиши формулу, выражающую площадь боковой поверхности конуса через диаметр. 8. Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см, вращается вокруг меньшего катета. Найти площадь поверхности тела, полученного при вращении.
Вопросы к семинару «средним».
1. Начерти конус. Укажи его образующую. Как найти площадь боковой и полной поверхности конуса? 2. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно 2/3. Найдите угол между образующей и плоскостью основания. 3. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого
Q
. Найдите площадь основания цилиндра. 4. Радиусы оснований усеченного конуса 3дм и 7дм, образующая 5дм. Найдите площадь осевого сечения. 5. Запиши формулу, выражающую площадь боковой поверхности цилиндра через диаметр. 6. Найти площадь боковой поверхности конуса.
L
=3см, угол равен 120 градусам. 7. Какая зависимость существует между высотой
Н
конуса, радиусом его основания
R
и длиной образующей
L
. Вырази каждую из этих величин через две другие. 3
8. Сечение цилиндра плоскостью параллельной его оси есть …
Ход урока:

1.Вступительное слово учителя.
«Человеку, сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка… Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг - геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчетливо, с такой тщательностью и так уверенно».
Ле Корбюзье.
Семинар проводим по одному из разделов курса геометрии «Тела вращения». Тема семинара: «Цилиндр и конус».
1 группа «Цилиндр».
Освещает вопросы, сопровождая ответы демонстрацией моделей, чертежей, рисунков и др. 1. Основные понятия (демонстрация движущихся моделей, рисунков, чертежей). 2. Сечения цилиндра: а) осевое сечение (доказательство); б) сечение, перпендикулярное оси цилиндра – круг (доказательство); 4
в) другие виды сечений, практическое приложение (использование дополнительной литературы). В практике часто можно встретить изображение детали, форма которой представляет собой геометрическое тело с плоскими срезами. Плоский срез – это результат сечения фигуры какой-либо плоскостью. (Работа по рисункам). Дан чертеж части телеграфного столба. Форма столба – цилиндр. Плоские срезы на конце получились в результате сечения цилиндра двумя плоскостями, наклоненными к его оси вращения (рисунок). Вывод: плоскости, с помощью которых получается сечение, называются секущими, а фигура, которая получается в результате пересечения данной фигуры плоскостью сечением (демонстрация примеров сечений, рисунков и моделей) 1. В сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси вращения, получается прямоугольник (демонстрирует) 2. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения, то в сечении прямого кругового цилиндра получится окружность (демонстрирует) Если секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра, в сечении получится эллипс (демонстрирует). Форму эллипса имеют очертания некоторых технических деталей и их элементов в сечении (фланцы, шестерни, стержни, спицы маховика и др.) (демонстрация рисунков), поверхность воды в наклоненном стакане цилиндрической формы (демонстрирует), некоторые световые пятна от лампы, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца (рисунок).
3. Площадь поверхности цилиндра (работа с разверткой).
Вывод формулы записать на доске.
4. Прикладная направленность темы «Цилиндр».
5
Большинство деталей, вытачиваемых из дерева или металла на токарных станках - тела вращения. И посуда, изготовляемая на гончарных кругах, и стеклянные банки, бутылки, графины, барабаны, валы, шайбы, заклепки, линзы, патроны, снаряды, спортивные диски, мячи, обручи – все это материальные тела, имеющие форму тел вращения. Цилиндрические резервуары и цистерны, хоккейные шайбы, графитные стержни, электроды для электросварки – все они имеют форму прямого кругового цилиндра. И шахтный ствол, буровая неглубокая скважина, отверстие, просверленное в доске перпендикулярно к ее поверхности, цилиндр двигателя внутреннего сгорания или поршневого насоса – тоже цилиндры. Еще больше встречается материальных цилиндров в комбинациях с другими телами: призмами, цилиндрами, шарами и т.п. Например, кирпич с отверстиями, железобетонная панель для перекрытий, труба, просверленный по оси шар. Рассмотреть решение задачи прикладного характера: Требуется покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5м и высотой 3м. Сколько понадобится краски, если на 1м 2 расходуется 200г?
5.Историческая справка.
Цилиндр и цилиндрические поверхности. Понятие «тела вращения» встречается еще в доисторическую эпоху. В 11 книге «Начал» Евклид дает определение цилиндра, исходя из вращения прямоугольника около одной его стороны. Однако понятия цилиндрической поверхности у него нет; последнее встречается у одного из комментаторов – Серена из Антинои (Египет), жившего в IVв. Серен трактикует и о наклонном цилиндре, в то время как Евклид имеет дело только с прямым круговыми цилиндром. Общее понятие цилиндрической поверхности, получаемой движением образующей, пересекающей все точки некоторой направляющей, впервые вводит Б. Кавальери (XVIIв.) В «Началах» ничего не 6
говорится о площади боковой поверхности цилиндра, она была найдена Архимедом. В 13-м предложении своего произведения «О шаре и цилиндре» последний доказывает, что «поверхность всякого прямого цилиндра, за вычетом оснований, равна кругу, радиус которого есть средняя пропорциональная между стороной (образующей) цилиндра и диаметром его основания», т. е. в современной записи боковая поверхность цилиндра равна П( Нr 2 ) 2 =2ПrH
6. Решение типовых задач.

Устное решение по готовым чертежам
1.) Квадрат со стороной
а
вращается вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Найти площадь а) осевого сечения; б) боковой поверхности; в) полной поверхности. 2.) № 531 Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм 2 . Найдите радиус цилиндра. 3.) Все вместе разбирают решение задачи №535 (записывают ее решение на доске и в тетрадях). У доски решает и объясняет решение задачи ученик из 4 группы. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 60 0 . Образующая цилиндра равна 10 3 см, расстояние от оси до секущей плоскости 2см. Найдите площадь сечения.
2 группа «Конус».
Руководитель группы демонстрирует картину Шишкина «Корабельная роща» и задает шутливый вопрос классу: -Какая связь между картиной и вот этим телом? (демонстрирует модель конуса). 7
Оказывается самая непосредственная связь. На картине изображены сосны, а модель, которую я держу в руках, называется конус, что в переводе с греческого означает «сосновая шишка». Итак, задание, которое получила наша группа рассказать вам все о конусе. Слушайте внимательно, запоминайте и нам помогайте. Затем учащиеся освещают вопросы: 1.Основные понятия конуса. 2.Сечения конуса (осевое и плоскостью перпендикулярной оси) (см. задачу №556). 3.Конические сечения – кривые, получающиеся при сечении кругового конуса (точнее - конической поверхности) плоскостью, не проходящей через вершину. Получающиеся при этом ограниченные фигуры (см. рисунок) оказываются эллипсами, а неограниченные - гиперболами (если секущая пересекает обе полости конуса) или параболами (если секущая плоскость пересекается лишь в одной из его плоскостей). Все виды конических сечений легко получить с помощью карманного фонарика, направляя его под различными углами на ровную площадку. (см. рисунок) Геометрические свойства конических сечений были известны древнегреческим ученым и послужили для Аполлония Пергского (Малая Азия) жившего в 3-4 в.в. до н.э. поводом присвоить отдельным типам конических сечений названия, сохранившиеся до наших дней: греческое слово «парабола» означает «приложение», «эллипс» - «недостаток», «гипербола»- «избыток». Самое известное произведение Аполлония Пергского - это «Конические сечения». Математики Древней Греции рассматривали только сечения, перпендикулярные какой-либо образующей конуса, а различные типы кривых получали путем изменения угла раствора конуса. Т.е. в древности применение конических сечений в науке было сравнительно ограниченным. Они служили в качестве вспомогательных линий при решении 3 классических задач, а также уравнений 3-й и 4-й степени. В технике применение конических сечений также 8
было невелико: было известно, что тень конца гнамона в солнечных часах описывает коническое сечение; указанное выше свойство параболического зеркала (лежащее в основе устройства прожектора и параболического телескопа) стало известно только в средние века. Важнейшую роль в науке и технике кривые второго порядка стали играть после того, как Галилей установил, что свободно брошенное тело или снаряд, выпущенный из орудия, двигается по параболе, а Кеплер сформулировал законы движения планет, согласно которым каждая из последних описывает эллипс, в фокусе которого находится Солнце. Одни кометы движутся по эллипсам, другие - по параболам и гиперболам. Гиперболы и параболы стали применяться в строительном деле. Теория конических сечений Аполлония была положена в основу «Введения» Ферма и «Геометрии» Декарта. Теория конических сечений поныне является важнейшей темой плоской аналитической геометрии, - это одно из важнейших достижений древнегреческой математики. На нее опирались в своих трудах не только Галилей и Кеплер, Ферма и Декарт, но и Дезарг, Паскаль, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, Лагранж и др. великие ученые. (демонстрируют портреты ученых). Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного влияния планеты Солнечной системы, покидают ее по той же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнима с земным притяжением. (См. рисунок) Если секущая конуса проходит параллельно одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рисунок). Эту кривую можно получить так: плоскость, освещаемую конусообразным пучком света, поставить параллельно 9
одной из образующих абажура – конуса (рисунок). Световое пятно получается в форме параболы. Поверхность воды будет иметь в конусообразной колбе форму параболы, если расположить поверхность жидкости параллельно одной из образующих конуса (демонстрирует колбу, наполненную водой и рисунок). Параболу описывает струя жидкости, вытесненная из отверстия в сосуде с постоянным уровнем (рисунок). Параболическую форму придают профилю моста, благодаря чему он наиболее плавно соединяется с прямыми участками дороги; такую же форму имеют некоторые своды. (См. рисунок). При укладке железнодорожных путей для постепенного, плавного перехода от прямолинейных участков пути к криволинейным делается переходный участок в форме параболы. (рисунок ).
Прикладная направленность темы «Конус».
Насыпание на горизонтальной поверхности кучи песка, зерна, угля, породы имеют форму конусов. При этом каждому сыпучему материалу соответствует определенный угол естественного укоса (наклонная образующей к плоскости основания конуса). Так, например, песку соответствует угол в 25 0 ,глине в 30 0 ,а щебню - 33 0 , углю - 42 0 . Другие примеры материальных конусов: нижние части углубления, сделанные сверлом в металле (рисунок), верхние части многих нефтехранилищ, концы кернеробинструментов для выбивания маленьких воронок в местах сверления. Форму усеченного конуса имеют ведра, тазики, кадушки, ролики многих подшипников и т.д. Форму конуса, усеченного наклонной плоскостью, имеют многие технические детали (сопло, гайка, клапан, клин, центр, воронка и др.). (Показать рисунок) 10

Симметрия конуса
. В своей книге «Этот правый левый мир» М. Гарднер пишет: «На земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум линиям, образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией» (билатеральная симметрия, «билатеральный» - «дважды боковой»). Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере фактически любого дерева (см. рисунок). Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, т.е. снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т.е. наверху. Поэтому направления «вверх и «вниз» для дерева, существенно, различны. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступают воздух, свет, влага. В результате появляется вертикальная поворотная ось (ось конуса) и вертикальные плоскости симметрии. Отметим, что вертикальная ориентация оси конуса, характеризующего симметрию дерева, определяется направлением силы тяжести. Именно поэтому общая ориентация ствола дерева не зависит от угла наклона поверхности почвы или от высоты подъема Солнца на данной широте. Идея конуса во всех случаях правильно отражает специфику симметрии дерева, ее сущность. Ведь для любого дерева можно указать и вершину, и в то же время для дерева неприемлемы понятия левой или правой, задней или передней сторон. 4.) Площадь поверхности конуса (вывод), п. 56. 5.) Решение задачи №548 (устно с использованием готовых чертежей) Образующая конуса, равная 12см, наклонена к плоскости основания под углом  . Найдите площадь основания конуса, если: а) 
=30

;
б) 
= 45

;
в) 
=60
 . 11
Решение задачу №555(а). У доски решает и объясняет решение задачи ученик из 4 группы. Образующая конуса равна 10см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60  , если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол в 30  .
3 группа «Усеченный конус»
1.Основные понятия. Объяснить, как получить усеченный конус вращением прямоугольной трапеции (демонстрация моделей, чертежей); осевое сечение усеченного конуса. 2. Формула площади боковой поверхности усеченного конуса (записать на доске) 3. Решение задачи №557 Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей. 4. Решение типовой задачи №571. Решает и объясняет решение задачи ученик из 4 группы. Дана трапеция ABCD, в которой  А=90  ,  D=45  , ВС=4см, CD=3 2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ. 5. Практическую направленность темы показать через решение задачи №572 Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15см и 10см, а образующая равна 30см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1м 2 требуется 150г краски? ( Толщину стенок ведер в расчет не принимать.)
5 группа
. «
Решение нестандартных задач».
12

Решение задач с использованием методов математического анализа.
1) Задача №607 Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р. 2) Найти наибольшую площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину. Высота Н равна 1, радиус основания R равен 3. 3) Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом  . Через вершину конуса проведена плоскость, образующая с плоскостью основания у гол  . Найти площадь получившегося сечения, если площадь осевого сечения равна S.
Итог
семинарского занятия проводится в форме блиц-турнира 2 команд (по 4 человека). Группе «Цилиндр» задают вопросы по теме «конус», группе «Конус» - по теме «цилиндр» (ответы мгновенные).
В
опросы.
Группе «Цилиндр»

Группе «Конус»
1. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и 2 точки окружности основания есть… 1. Цилиндр может быть получен от вращения… вокруг… 2. Конус может быть получен от вращения… вокруг… 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна… 3. Площадь боковой поверхности конуса … 3. Площадь полной поверхности цилиндра … 4. «Конус» в переводе с греческого… 4. Развертка цилиндра … 5. Площадь полной поверхности конуса… 5. Осевое сечение цилиндра … 6. Сечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси есть… 6. «Цилиндр» в переводе с греческого … 13
7. Сечением конуса может быть … 7. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси … 8. Автор «Конических сечений»… 8. Какой цилиндр н а з ы в а е т с я прямым? 9. Развертка конуса … 9. В трудах каких ученых впервые у п о м и н а е т с я о ц и л и н д р е , цилиндрической поверхности? 10. При решении задач использовали понятие «угол между прямой и плоскостью». Это угол … 10. При решении задачи № 555(а) пользовались теоремой, обратной теореме о трех перпендикулярах. В чем ее суть?
Задание на дом.
Задача. Через две образующие конуса проведена плоскость, отсекающая в основании дугу в 120 0 .Найти площадь сечения, если радиус основания конуса равен m, а плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол  . 14