Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 1г. Сердобска

Конспект урока алгебры в 10 классе на тему:

«

Решение

тригонометрических

уравнений

»

урок

-

лекция

Разработала:

учитель математики

высшей категории

Горшенина Е.А.

2015 – 2016 учебный год

Ц

е

л

и урока: научить решать некоторые виды тригонометрических уравнений

(квадратные) относительно одной из тригонометр

и

ческих функций, однородные

уравнения первой и второй степени относительно

sin

х и

cos

х; развивать

культуру мысли; воспитывать самостоятельность и умение преодолевать

трудности.

Оборудование: мультимедийное устройство, экран.

ХОД УРОКА

1.

Организационный момент.

2. Повторение изученного материала. Устный счет.

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

Установите соответствие:

1. 2sin х

=

1; 1. +

П/8 + Пn; n € Ζ.

2. √2 sin х =1; 2. (-1)

n

П/12 + Пn/3; n € Ζ.

3

.

– 2cos х

=

1; 3. + П/9 + 2Пn/3; n € Ζ.

4. - 2sin х

=

1; 4. (-1)

n

П/12 + Пn/2; n € Ζ.

5.

- 2cos

х =

2; 5.(-1)

n

П/6 + Пn; n € Ζ.

б.

sin

(2

П

-

х)

=

0

;

6.(-1)

n

П/4 + Пn;

n € Ζ.

7. сов (2

П

-

х)

= 1;

7. + 2/3П + 2Пn;

n € Ζ.

8.

tg (4П - х)

=

-

1;

8. (-1)

n+1

П/6 + Пn;

n € Ζ.

9.

cos

2х =

√2/2

;

9. + 3/4П + 2Пn; n € Ζ.

10.

sin 3

х =

√2/2; 10. Пn; n € Ζ.

11.

cos 3

х =

- ½; 11. 2Пn; n € Ζ.

12. sin 2х

=

½; 12. П/4 + Пn; n € Ζ.

3. Изучение нового материала

Методические рекомендации. Учащиеся изучают три вида тригонометрических

уравнений. Уравнения, представляющие собой квадратные уравнения относительно какой-

либо тригонометрической функции, либо сводимые к нему. Если в уравнение входят

тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом

следует выбирать эту функцию так, чтобы получилось квадратное относительно нее

уравнение. Введя вспомогательную переменную и решив квадратное уравнение,

переходим к решению одного из простейших тригонометрических уравнений.

Решение уравнений, левая часть которых разлагается на множители, а правая равна

нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные (при этом значении

переменной) имеют смысл, также сводится к решению простейших тригонометрических

уравнений и к проверке того, не теряют ли смысл остальные множители при этом

значении переменной.

Однородные уравнения первой и второй степени относительно синуса и косинуса

или сводимые к ним решаются особым способом, рассмотренном в учебном пособии.

Часто однородные уравнения в начальном виде не очевидны, но могут быть

преобразованы в явно однородные. Например, уравнение вида

sin 2х + sin

2

х

=

0

является однородным, если sin 2х заменить по формуле двойного аргумента, то есть

привести уравнение к виду

2 sin х ×cos х + sin

2

х

=

0

.

Здесь отсутствует член, содержащий сов

2

х. Поэтому, чтобы степень уравнения не

понизилась, делим все на cos

2

х ≠ 0; уравнение tg

2

х

+ 2 tg х

=

0 -

это неполное квадратное

уравнение относительно tg х. Решаем его, разложив левую часть на множители:

tg

х ×

(

tg

х +

2)

=

0.

Отсюда tg х

=

0 или tg

х =

-

2, то есть х

=

Пn или х = - агсtg 2+ Пn, n € Ζ.

Можно данное уравнение решать, не переходя к тангенсу, а сразу разложить на

множители, как это сделано в учебном пособии.

Уравнение 3 sin

2

х -

4 sin х cos х + 5сов

2

х

=

2

тоже приводится к однородному, если правую часть умножить на выражение sin

2

х + cos

2

х, равное 1. Это уравнение в результате приводится к виду

sin

2

х - 4sin х cos х + 3cos

2

х

=

0.

Уравнение вида a sin х + b cos х

=

с,

где а и b не равны нулю одновременно, может быть сведено к однородному, если sin х и

cos х заменить по формуле двойного аргумента, а правую часть умножить на

sin

2

х/2 + cos

2

х/2.

Получаем:

2а sin х/2 cos х/2 + b (cos

2

х/2 – sin

2

х/2)

=

с (cos

2

х/2 + sin

2

х/2)

то есть

(с + b) sin

2

х/2

-

2а sin х/2 cos х/2

-

(b -

с) cos

2

х/2

=

0.

Далее ‚равнение решается как обычное однородное уравнение второй степени.

Рассмотрим основные виды тригонометрических уравнений и способы решений. Во время

объяснения у доски решения уравнений учащиеся ничего не записывают в тетрадях. Весь

класс смотрит на доску и мысленно прорабатывает каждый этап решения. После

окончания решения упражнения на доске, каждый ученик должен воспроизвести это

решение в тетради по памяти.

Пример 1. Решите уравнение

8cos

2

х + 6 sin х - З

=

0

.

Решение. Заменяя cos

2

х через 1 - sin

2

х, получаем

8(1 - sin

2

х) + 6 sin х - 3

=

0,

8 sin

2

х - 6 sin х - 5

=

0

.

Пусть sin х

=

t. Тогда

8t

2

- 6t - 5

=

0,

t

1

= 5/4 или t

2

= - ½.

а) Уравнение sin х

=

5/4 корней не имеет, так как sin х не может быть больше единицы.

б) sin

х = - ½,

х = (-1)

k

arcsin (-1/2) + Пk, k € Ζ,

х = (-1)

k+1

arcsin 1/2 + Пk, k € Ζ,

х = (-1)

k+1

П/6 + Пk, k € Ζ.

Ответ: х = (-1)

k+1

П/6 + Пk, k € Ζ.,

Примечание. Ответ можно записать по-другому: - П/6 + 2Пn, n € Ζ (если k = 2n – четное

число), П/6 + П( 2n+1) (если k = 2n+1 – нечетное число).

Пример 2. При каких значениях х принимают равные значения функции

у =1 + cos

х и у

=

- cos 2х?

Решение, для нахождения значений х решим тригонометрическое уравнение

1+cos х = - cos2х.

Так как cos 2х

=

2 cos

2

х - 1, то имеем

1 + cos х

=

- (2сов

2

х - 1),

2cos

2

х + cos х

=

0.

Получено неполное квадратное уравнение относительно cos х, которое решается

вынесением множителя за скобки:

cos х (2 cos х + 1)

=

0,

отсюда cos х = 0, х = П/2 + Пn, n € Ζ;

2cos х + 1

=

0, 2cos х

=

- 1, cos х

=

- 1/2,

х = ± arcos (-1/2) + 2Пn, n € Ζ, х = ± 2/3П + 2Пn, n € Ζ.

Ответ: функции у

=

1 + cos х и у

=

cos 2х принимают равны значения, если х

=

П/2 + Пn,

или х = ±2/3П + 2Пk, где k € Ζ.

4. Однородные тригонометрические уравнения

а sin х + b cos х = 0

- однородное уравнение первой степени относительно sin х и cos х ≠ 0. В результате

получается уравнение вида а tg х+b=0.

Уравнение а sin

2

х + b sin х cos х + с cos

2

х = 0 (*)

называется однородным уравнением второй степени относительно sin х и cos х.

Если а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на cos

2

х ≠ 0.

Получаем уравнение а tg

2

х+b tg х + с =0.

Если а

=

0, то уравнение (*) принимает вид

b sin х cos х + с cos

2

х = 0

и решается разложением на множители левой части:

cos х (b sin х + с cos х)

=

0.

Пример 1. Решите уравнение

3 sin

2

х + sin х cos х

=

2 cos

2

х.

Решение. 3 sin

2

х + sin х cos х -

2 cos

2

х = 0. (*)

Имеем однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделив почленно обе

части уравнения на cos

2

х, получим 3tg

2

х + tg х – 2 = 0.

Докажем методом от противного, что cos х ≠ 0. Предположим, что cos х

=

0, тогда из

уравнения (*) видно, что и sin х

=

0, что невозможно, так как не выполняется тождество

sin

2

х + cos

2

х

=

1. Для решения уравнения (*) обозначим tg х через т, имеем

3 т

2

+ т - 2

=

0,

tg х

=

- 1, х =

агсtg

(

-

1) + Пn, х

=

- П/4 + Пn, n € Ζ;

tg х = 2/3, х = агсtg 2/3 + Пn, n € Ζ;

Ответ: - П/4 + Пn, n € Ζ; агсtg 2/3 + Пn, n € Ζ.

Примечания. 1. При решении однородных уравнений обязательно нужно обосновывать,

что сов х ≠ 0. В этом примере дан один из способов обоснования, в других примерах

это делается другим способом.

2. При решении уравнения можно не вводить новую переменную, а решать квадратное

уравнение относительно tg х.

3. При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на множители,

нужно использовать все известные способы разложения на множители: вынесение общего

множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения и

деления, искусственные приемы.

Пример 2. Решите уравнение

1

+

cos х

+

сов 2х

=

0.

Решение. Выражение 1 + cos 2х заменим выражением 2 cos

2

х. Тогда уравнение принимает

вид

2 cos

2

х

+

cos х

=

0.

Разложим левую часть этого уравнения на множители:

cos х (2 cos х + 1)

=

0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен

нулю, а другой при этом не теряет смысла, то есть

cos х = 0, х= П/2 + Пn, n € Ζ;

2 cos х +1= 0, 2 cos х = -1, cos х= - 1/2,

х

=

± агс cos (- 1/2

)

+ 2Пn, n € Ζ;

х

=

± 2/3П + 2Пn, n € Ζ.

Ответ: х = П/2 + Пn, n € Ζ; х= ±2/3П + 2Пn, n € Ζ;

4. Закрепление изученного материала

Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой и объяснением

(один ученик выполняет работу на крыльях доски). Во время работы учитель оказывает

помощь слабоуспевающим учащимся.

Выполните задания: 164(а, б), 169(а, 6), 174(а).

5.

Задание на дом

164(в, г), 169(в), 174(6); дополнительно 17З(а, 6).