СТАТЬЯ ПО ТЕМЕ:

Применение задач с междисциплинарным содержанием

при проведении олимпиад среди школьников и студентов

КРАСНОЗНАМЕНСКИЙ ФИЛИАЛ ОДИНЦОВСКОГО ТЕХНИКУМА.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ: КРУПИНА ЕЛЕНАЕВГЕНЬЕВНА

2017г.

Применение задач с междисциплинарным содержанием

при проведении олимпиад среди школьников и студентов

Крупина Е.Е.

К настоящему времени накоплен огромный объём знаний о возможно-

стях применений математических моделей в самых разнообразных сферах прак-

тической деятельности. Нет практически ни одной отрасли науки, даже среди

на первый взгляд довольно отдалённых от математики, таких как биология или

лингвистика , где бы не использовался математический аппарат. В то же время у

учащихся школ очень часто формируется полностью противоположное пред-

ставление о математике как о некотором абстрактном знании, которое не приме-

няется на практике. В результате студенты нематематических специальностей

испытывают серьёзные затруднения при решении довольно простых задач изу-

чаемой области науки, если для этого необходимо применение даже базовых ма-

тематических знаний и умений. Например, при измерении потенциал-зависимо-

го действия некоторых лекарственных веществ возникает необходимость найти

площадь некоторой фигуры, ограниченной графиком. Студенты-биологи, имея

подробную таблицу значений данной функции, (в этом случае площадь, то есть

интеграл, можно вычислить достаточно точно), затрудняются определить эту

площадь даже приблизительно, пользуясь графиком данной функции, при помо-

щи измерительных инструментов. В то же время научные исследования ставят

перед биологами гораздо более серьёзные задачи, требующие умения строить и

решать системы дифференциальных уравнений (модель «хищник-жертва» в

экологии, модели нервного импульса в нейрофизиологии ), умения видоизме-

нять существующие модели (например, воздействие некоторых веществ изменя-

ет свойства системы, переносящей калий , что требует внесения изменений в

модель нервного импульса). С другой стороны, и студентам-математикам необ-

ходимо понимание характера её приложений и их роли в развитии самой мате-

матики. Так, взаимопроникновение биологии и математики демонстрируют ра-

боты по генетическим алгоритмам.

В целях широкого распространения знаний о приложениях математики

олимпиады по математике среди учащихся 10-11 классов и студентов технику-

мов, организуется по схеме «математика +»: наряду с классическими олимпиад-

ными задачами участникам конкурса предлагается решить и задачи прикладно-

го содержания из разных областей знания по их выбору (лингвистические, био-

логические, физические, экономические). Результаты олимпиады обычно пока-

зывают меньшую успешность решения таких задач, несмотря на их невысокую

сложность по сравнению с задачами «олимпиадной» математики (хотя и отме-

чается некоторая положительная динамика: в 2015 году к решению задач при-

кладного характера приступало большее количество учащихся, чем в 2014 году,

и средний балл, полученный за эти задачи, оказался выше). Приведём примеры

задач междисциплинарного содержания из олимпиады 2015 года.

Пример 1. Внешний вид живых организмов определяется набором их ге-

нов (генотип особи), обозначаемых буквами; за каждый внешний признак отве-

чает пара одноименных букв. Каждый из родителей передает потомкам по од-

ной из каждой пары своих букв, при этом, если буквы, полученные от роди-

телей будут различными, то тот ген, который проявится во внешнем признаке,

называется доминантным (их обозначают заглавными буквами латинского алфа-

вита А, В, С …), а тот, который не проявится – рецессивным (их обозначают

строчными буквами а, b, c ...). Пусть особи, наследующие генотип АА, погиба-

ют при рождении; особи, наследующие генотип Аа, имеют яркую окраску, аа –

бледную. При скрещивании особей с короткой шерстью появляются особи как с

короткой, так и с длинной шерстью, а при скрещивании особей с длинной шер-

стью – только особи с длинной шерстью. Скрещиваются самец с яркой окраской

и короткой шерстью и самка с яркой окраской и длинной шерстью. Обозначив

гены, отвечающие за длину шерсти, буквами В или b, перечислите все возмож-

ные генотипы их потомства. Какому внешнему виду они будут соответствовать?

Каков будет наиболее вероятный внешний вид их потомства? (текст задачи с не-

большой адаптацией заимствован из работы ).

Решение. Так как при скрещивании особей с короткой шерстью могут по-

явиться особи с длинной шерстью (что возможно только в случае, когда оба ро-

дителя имели смешанный генотип Вb, ген В у них проявился, а потомкам они

передали ген b), короткая шерсть – доминантный признак, длинная – рецессив-

ный. Особи с длинной шерстью имеют генотип bb, с короткой шерстью – либо

ВВ, либо Вb, причем особи типа Вb точно существуют. Так как обе скрещивае-

мые особи имеют яркую окраску, это соответствует генотипу Аа. Поэтому гено-

тип родителя-самки в задаче



Ааbb, а генотип самца может иметь вид либо

АаВВ, либо АаВb. Возможные варианты генотипов, получающихся при скре-

щивании, среди выживших: АаВb, Ааbb, ааВb, ааbb.

АаВb – яркие с короткой шерстью, Ааbb – яркие с длинной шерстью,

ааВb – бледные с короткой шерстью, ааbb – бледные с длинной шерстью.

Вероятности наследования потомком генотипа при скрещивании Аа и Аа:

АА – ¼, Аа – ½, аа – ¼ (АА:Аа:аа = 1:2:1), но особи, имеющие генотип АА, по-

гибают, выжившие особи распределяются на 2 группы – яркие (Аа) и бледные

(аа), вероятность появления яркой особи составит 2/3, а бледной – 1/3, поэтому

вероятность появления яркой особи выше. При скрещивании ВВ с bb возможно

возникновение только генотипа Вb (100 % вероятность), а при скрещивании Вb

c bb потомки наследуют генотип Вb или bb с вероятностью 50 %. Поэтому, если

бы в популяции не было особей с генотипом ВВ, то вероятность появления по -

томков с короткой шерстью была бы равна вероятности появления потомков с

длинной шерстью. Но так как возможность существования самца с генотипом

ВВ отвергать нельзя (а его потомки точно будут иметь короткую шерсть), общая

вероятность возникновения потомков с короткой шерстью выше. Поэтому наи-

более вероятный внешний вид потомства – яркая окраска и короткая шерсть.

Задачи экономического содержания, доступные для школьников, часто

бывают связаны с применением производной. Однако существуют и задачи на

оптимизацию деятельности в различных сферах, которые можно решить даже

без этого аппарата .

Пример 2. Строительство спортивных катков возможно по двум проектам.

Строительство одного катка по первому проекту подразумевает затраты на сум-

му 10 млн. рублей, а также размещение на катке 4 машин для заливки льда, для

строительства катка по второму проекту требуется затратить 15 млн. рублей и

установить 3 машины. Имеется 400 млн. рублей и 100 машин для заливки льда.

Какое максимальное число катков можно построить в данных условиях? Задача

с некоторыми изменениями заимствована из работы.

Ответ: 30 катков (10 катков по первому проекту и 20 катков по второму).

Решение возможно многими различными способами, например:

Пусть

x

– количество катков, построенных по первому проекту,

y

– по

второму. Затраты на строительство составят

y

x

15

10



(млн. руб), что по усло-

вию задачи не должно превышать 400. Количество необходимых машин для за-

ливки льда при этом составит

y

x

3

4



, что не должно превышать 100. Деля обе

части первого ограничения на 5, получим систему неравенств















.

100

3

4

,

80

3

2

y

x

y

x

Требуется найти такое решение этой системы неравенств, чтобы сумма

y

x



была максимальной. Множество решений системы можно найти графически.

Для этого строим прямые

.

100

3

4

:

,

80

3

2

:

2

1









y

x

l

y

x

l

По смыслу задачи х ≥ 0 и у ≥ 0. Поэтому допустимыми решениями задачи яв -

ляются целочисленные точки, лежащие в пределах четырехугольника ОАВС.

Обозначим искомое число катков через

ñ

. Тогда линии

ñ

y

x





на чертеже бу-

дут

параллельными

между

собой.

Можно

построить

одну

из

таких

линий

(например,

10





y

x

) и заметить, что величина

ñ

увеличивается при сдвиге

прямой вправо. Поэтому, двигая линию параллельно вправо, мы можем найти

точку, в которой значение

y

x



будет максимальным. При точном чертеже вид-

но, что этой точкой будет точка В с координатами (10, 20) – точка пересечения

прямых l

1

и l

2

.

Другие возможные методы решения аналогичных задач можно найти в ра-

боте . Решение задач такого типа полезно учащимся, в частности, и потому, что

программа ЕГЭ последних лет требует владения некоторыми оптимизационны-

ми методами. Содержательные экстремальные проблемы часто встречаются и

среди физических задач; применение дифференциального исчисления в этих

случаях способствует лучшему пониманию смысла производной, а возмож-

ность использования иных методов содействует, в частности, формированию

умения решать задачи с параметрами.

Пример 3. Мальчик Вася (его рост 150 см), стоя лицом к дому на расстоя-

нии 4 метров от него, в задумчивости бросил камешек и - надо же! - попал пря-

мо в окно тёти Маши. С какой наименьшей скоростью Вася мог бросить каме-

шек, если подоконник тёти Маши расположен на высоте 4,5 метров?

Решение: Свяжем систему координат с точкой, где стоит Вася. Закон движения

камешка (под действием силы тяжести, трением пренебрегаем) имеет вид:



















,

2

sin

,

cos

2

0

0

0

gt

t

v

h

y

t

v

x





где

0

v

-

скорость, с которой Вася бросил камешек,



-

угол, под которым он

был брошен,

5

,

1

0



h

(

м) - начальная ордината. Попадание в окно означает, что в

некоторый момент времени

4





d

x

(м),

5

,

4





h

y

(м). Требуется найти наи-

меньшее значение

0

v

,

при котором существует



такое, что система уравнений



















h

gt

t

v

h

d

t

v

2

sin

,

cos

2

0

0

0





имеет решение. Исключая

t

, получаем

















,

0

1

2

,

0

cos

2

0

2

2

0

2

0

2

2

0

2























h

h

tg

v

gd

tg

d

h

h

v

gd

tg

d













.

0

2

1

2

2

2

0

0

2

0

2



























gd

v

h

h

tg

gd

v

tg





Это квадратное относительно



tg

уравнение имеет решения тогда и только то-

гда, когда его дискриминант неотрицателен, т.е. когда













.

8

4

3

3

2

2

2

2

0

0

2

0

g

g

d

h

h

h

h

g

v



















Ответ:

.

8

min

0

g

v



Решение задач математической лингвистики, помимо уяснения базовых

приёмов структурного анализа языка, способствует формированию комбинатор-

ных и логических способностей, что является одной из целей математического

образования.

Пример 4

.

(Задача составлена по мотивам одной из задач сборника ).

Даны

обозначения некоторых дат с указанием дней недели на русском языке и на язы-

ке суахили (в другом порядке):

02.04, вторник; 03.04, понедельник; 03.10, вторник; 04.10, суббота;

03.12, среда; 05.12, вторник

tarehe tatu April i jumatatu; tarehe tatu Oktoba jumanne; tarehe tatu Disemba

jumatano; tarehe pili April i jumanne; tarehe nne Oktoba jumamosi; tarehe

tano Disemba jumanne

Переведите на русский язык: tarehe pili April i jumapili; tarehe tano Oktoba ju-

matano; tarehe nne Disemba jumatatu. Переведите на суахили: 5 апреля, среда;

2 декабря, понедельник; 4 октября, воскресенье.

Решение: Существительные April,

Oktoba,

Disemba в языке суахили - это

названия месяцев (иначе объяснить совпадение с соответствующими латински-

ми корнями невозможно); повторение фрагментов tatu, nne, tano, pili, mosi в на-

чале и конце фраз, по-видимому, означает, что названия дней недели на суахили

образуются посредством числительных (первый день недели, второй и т.д.) Воз-

можны два варианта: 1) название дня недели образуется добавлением к числи-

тельному juma и ставится в конце фразы; 2) название дня недели образуется до-

бавлением к числительному tarehe и ставится в начале фразы. В первом случае

tatu - это 3 (единственное число, которое встречается трижды), jumanne - это

вторник (единственный день недели, который встречается трижды), следова-

тельно, pili - 2, nne - 4, tano - 5; jumamosi - суббота, jumatatu - понедельник, ju-

matano - среда. Это возможно лишь в случае, если счёт дней начинается с суб-

боты (иначе не находится трёх подряд идущих дней недели из числа названных,

соответствующих номерам 3, 4, 5). Поэтому воскресенье - второй день недели,

jumapili,

и мы можем перевести все фразы. Рассматривая аналогично второе

предположение, приходим к противоречию. Ответ: 02.04, воскресенье; 05.10,

среда;

04.12,

понедельник; tarehe tano April i

jumatano; tarehe pili Disemba

jumatatu; tarehe tano Oktoba jumapili.

Обучение решению задач прикладной направленности, время для которого

трудно найти в рамках основного школьного курса, можно осуществлять при

подготовке школьников к олимпиадам и в рамках проектной деятельности. На-

личие у школьников представлений о возможностях применения математики не

только полезно для их будущей деятельности, но и способствует увеличению

познавательной активности.

Список литературы

1.

Арнольд В.И. Математическое понимание природы: удивительные физические явления и

их понимание математиками. - М.: МЦНМО, 2009. - 144 с.

2.

Глухов В.П., Глухова Н.В., Евстигнеев Д.А., Кузнецова И.В. Математическое моделирова-

ние биологических процессов как реализация межпредметных связей на уроках математи -

ки и биологии: Учебно-методическое пособие. – Ульяновск: ИПКПРО, 2004. – 28 с.

3.

Глухова Н.В. О мотивации изучения математических дисциплин студентами, обучающи-

мися по направлению подготовки «Социальная работа» // Проблемы современного матема-

тического образования в высшей школе: Материалы международной заочной научной кон-

ференции.– Ульяновск: УлГПУ, 2013. – С. 130 – 134.

4.

Глухова Н.В., Череватенко О.И. Линейное программирование в управлении персоналом:

учебное пособие для направления подготовки бакалавров 080400.62. – Ульяновск, УлГПУ,

2013. – 70 с.

5.

Евстигнеев Д.А., Кузнецова И.В., Глухова Н.В. Анализ действия блокаторов калиевых ка-

налов тетраэтиламмония и 4-аминопиридина на электрическую активность миелинизиро-

ванных нервных волокон амфибий. – Ульяновск: УВАУ ГА, УлГПУ, 2009. – 431 с.

6.

Задачи лингвистических олимпиад: 1965-1975/ Ред.-сост. В.И.Беликов, В.Е.Муравенко,

М.Е.Алексеев. – М.: МЦНМО, 2006. – 570 с.

7.

Кузнецова И.В., Евстигнеев Д.А., Глухова Н.В. Длительные следовые потенциалы миели-

низированных нервных волокон амфибий при блокировании калиевых каналов 4-аминопи-

ридином // Фiзiологiчний журнал. – 2007. – Т. 53. – № 3. – С. 61 – 69.

8.

Кузнецова И.В., Евстигнеев Д.А., Глухова Н.В., Глухов В.П. Изменение электрогенеза мие-

линизированных нервных волокон амфибий под действием тетраэтиламмония // Совре -

менные наукоёмкие технологии. – 2008. – № 2. – С. 22 – 29.

9.

Кузнецова И.В., Евстигнеев Д.А., Глухова Н.В. Роль медленного калиевого тока в проявле-

ниях потенциал-зависимого действия 4-аминопиридина в миелинизированных нервных

волокнах амфибий // Биологические мембраны. – 2009. – Т. 26. – № 3. – С. 206 – 216.

10.

Куренева Т.Н. Проектная деятельность в обучении математике студентов нематематиче -

ских специальностей // Проблемы современного математического образования в высшей

школе Материалы международной заочной научной конференции. 2013. С. 147-149.

11.

Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Электронный учеб-

ник. Режим доступа: library.biophys.msuLectMB/ (Электронная версия книги

- М-Ижевск, Изд. РХД, 2002).

12.

Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2001. – 912 с.

13.

Цыганов А.В. Генетический алгоритм для задачи вершинной минимизации недетерми -

нированных конечных автоматов // Программные продукты и системы. 2012. № 4. С. 27.