Мойсенко А. В., учитель математики школы № 734

Погружение в математику - прорыв к себе.

Дневник погружения в геометрию (7 класс).

1. Необходимость, значение и смысл погружения в предмет «Математика»

На наших педагогических советах, пленумах, заседаниях методических объединениях мы

часто говорим о необходимости перехода на новое содержание образования, согласно новым

ФГОСам, в том числе и в области математики. При этом, оперируя громкими терминами:

"способности", "самоопределение", "способы мышления и деятельности" и т. д. в качестве

нового содержания образования, мы на практике занимались почти тем же, что и год и два

назад, не очень понимая, как все эти концептуальные идеи и новые теории привнести в нашу

школьную

действительность

с

конкретными

учениками,

учебниками,

программами.

Некоторые учителя просто не испытывают необходимости переходить на новое содержание

образования, так как сумели адаптироваться в изменившейся школьной ситуации со своими

прежними взглядами, подходами и стереотипами. А те, кто испытывают эту необходимость,

чаще всего обречены на раздвоение своего собственного сознания и образа учителя: 1- как я

хотел бы работать; 2 - что же я делаю?! Так как они не имеют в руках механизма перевода

своей деятельности в область нового образования, нового ФГОСа.

И этот процесс раздвоения личности педагога может привести к серьезному внутреннему

конфликту,

если

не

появится

механизм,

формирующий потребность

перехода

к

новому

содержанию образования и дающий возможность этого перехода.

Для меня таким механизмом стало "образовательное погружение". Я сознательно не уточняю,

куда или во что можно погружаться, так как это, может быть, погружение в раздел какой-либо

науки, в предмет, в историческую эпоху, в людей и их образ жизни, в саму жизнь за окном, в

культуру,

наконец.

Однако

совершенно

ясно,

что

одним

из

критериев

того,

что

"образовательное погружение" состоялось, а не просто прошла серия спаренных уроков или

циклов, является ощущение, что в конечном итоге произошло погружение в себя, в свои

личностные проблемы, через данную науку, культуру, учебный предмет. И произошло это как

с учениками, так и с учителем. И, наверное, в первую очередь, с учителем.

Так, для меня на уроках погружения в математику произошло переосмысление содержания

математического образования и своей собственной педагогической деятельности.

Именно процесс погружения, подготовка к нему и анализ его ставили мучительные вопросы о

смысле и способах моей работы, моей педагогической деятельности. Я пытался разобраться в

том,

что

же

такое

математика

и

математическое

образование.

Задумывался

о

целях

преподавания этой науки, ее содержании, единице математики и задачи; исследовал материал,

который может дать развитие новому содержанию образования.

Все это происходило в тесном сотрудничестве с учениками. Мы постоянно задавали друг

другу вопросы, делились своими проблемами, решение которых помогало нам двигаться

вперед.

Хотя

каждый

вопрос

или

проблема

при

их

разрешении

влекли

за

собой

новые

вопросы,

открывали

новые

и

новые

проблемы

и

трудности.

Неоднократно

в

процессе

погружения

и

совместной

деятельности

изменялась

или

трансформировалась

сама

цель

погружения, то есть "дитя" вырастало из сшитых для него штанишек или, наоборот, тонуло в

них. Так, например, перед погружением в геометрию в 7 классе (это начало курса геометрии)

ставилась цель: выделить систему основных аксиом геометрии, научиться доказывать теоремы

и решать задачи на доказательство. Т. е. освоить дедуктивный метод, с помощью которого

строится предмет геометрия. Однако уже на первых уроках погружения мы вместе с ребятами

вышли

на

другую

цель:

освоение

способов

логического

мышления

на

материале

науки

геометрия.

На первый взгляд различие целей незначительно, так как умение рассуждать и доказывать,

опираясь

на

фундаментальные

понятия

и

основные

аксиомы,

и

является

важнейшим

элементом

логического

мышления.

Однако

в

реальности

различия

оказались

довольно

существенными,

так

как

задавали

иные

способы

движения

в

том

образовательном

пространстве, которое мы строили вместе с ребятами.

При

первом

подходе

изначально

считаются

заданными

и

сама

геометрия

(кем-то

разработанная и написанная), и система аксиом, и сами геометрические задачи. Требуется

только выделить из этой системы аксиом основные, опираясь на существующий опыт и

применить их к доказательству приложенных теорем и задач.

При втором подходе мы сразу же столкнулись с вопросами, на первый взгляд далекими от

того, что изучается в школьном курсе геометрии, а именно: что есть логика, что значит

научиться мыслить логически? И если существует логическое, значит есть и нелогическое

мышление? А какое оно? И зачем нужно именно логическое мышление, какое оно имеет

отношение к геометрии? И вообще, - а что такое геометрия и зачем она нужна?

Так мы пришли к необходимости формирования своего собственного понятия геометрии,

этапов ее развития, понимания места этой науки в своей жизни и образовании.

В 9 классе при обсуждении с ребятами смысла изучения геометрии • был выбран сугубо

практический подход к погружению в геометрию. Оно происходило в начале 3 четверти.

Поэтому цель погружения была сформулирована так: за счет укрупнения дидактических

единиц, временных интервалов и интегрирования тем и усилий закончить изучение курса

геометрии

неполной

средней

школы.

Это

дало

возможность

ребятам

определиться

и

по

отношению к геометрии (многие потом предпочли геометрию в день уроков по выбору), и к

экзаменам (ребята подготовились к досрочной сдаче экзамена), формам, методам и темпам

изучения геометрии, как в процессе погружения, так и при дальнейшем обучении.

А самое главное, конкретность и актуальность задачи, ясность цели позволила в непростом по

составу 9 классе снять внутреннее напряжение и достойно и с честью завершить изучение

курса планиметрии.

Аналогичным

образом

происходило

изменение

целей

погружения

в

алгебру.

Хотя

здесь

изначально

целевая

установка

была

достаточно

общей:

формирование

способностей

к

математическому моделированию, описанию и анализу процессов бытия и мышления.

Разные классы и возрастные группы по-разному трансформировали для себя эту цель.

1)

Где-то

удалось

выявить

противоречия

в

развитии

математики

и

через

их

осмысление попытаться проникнуть в саму науку (исторический подход).

2)

Где-то сразу определили ряд функций, описывающих определенные жизненные

процессы,

и

начали

работать

с

ними,

разрабатывая

методы

их

преобразования

и

исследования.

3)

А в 10-ом (гуманитарном) классе возникла проблема совмещения

каждым человеком конкретного и абстрактного, фундаментального и прикладного, образного

и аналитического в математике.

Конечно, за одно погружение в 10-ом классе удалось только выявить эту проблему, но решить

ее не удалось из-за отсутствия времени и четкого представления о способах решения.

В каждом случае учитель пытался держать рамку изначальной целевой установки и вместе с

ребятами искать пути ее реализации.

Наиболее

содержательно,

с

моей

точки

зрения,

происходило

развитие

образовательной

ситуации

на

погружениях

в

7-ом

классе.

Возможно,

потому,

что

там

удалось

провести

повторные, пусть даже мини погружения по данным темам в 4-ой четверти, чего не удалось

сделать в остальных классах. И это дало качественно иную картину. Поэтому попытаемся

проследить и осмыслить ход погружения в геометрию в этом классе.

II. Дневник погружения

Первый день погружения

1урок. Ребятам были предложены различные задачи по математике: на смекалку, на логику, на

доказательство,

на

построение,

на

комбинаторику

(вырезание,

составление

рисунка)

и

различные парадоксы и математические софизмы. И было предложено выбрать для решения

любую задачу, но только постараться понять и суметь объяснить мотивы своего выбора. На

этом уроке ребята занимались свободным поиском решения различных задач. Из рефлексии

Димы Яценко: "Мы решали задачи, и мне было интересно. И хотя я участвовал сегодня не

очень активно, я понимал, как решаются задачи. Я чувствовал, что что-то понимаю".

2урок. Мы пытаемся разобраться, почему каждый выбрал именно ту или иную задачу. Какие

мог бы еще решить? Какие не мог бы и почему? Выяснилось, что ребята старались выбрать

яркие, необычные задачи или те, которые им представлялись легкими и доступными. И только

несколько человек выбрали заведомо сложные задачи на доказательство, представляя себе их

сложность. Остальные сказали, что такие задачи для них неинтересны. А почему? И тут

выяснилось, что совсем не потому, что они им надоели, а потому, что ребята не умеют их

решать и боятся браться за такие задачи, если есть выбор. Итак, мы выяснили, что мы не

умеем и боимся доказывать. А нужно ли это, в частности при изучении геометрии? И тут сами

собой возникли вопросы:

1) Что значит изучать геометрию?

2) Что я лично понимаю под геометрией?

Ребята предлагали свое видение геометрии, проводя аналоги со строительством здания:

«Геометрия – фундамент. Строим здание мы сами. Теорема с аксиомой -

рядышком, как кирпичи... Ну а каменщики наши - есть ученые, которые

саливают их раствором С утвержденьем вперемешку. Вот теорию

возводят, облицовывают стены. Доказательство наверх, словно крышу

положили... Стройность - главное при стройке, В математике - важнее.»

(Карамышев М. )

3урок. Затем мы попытались определить, что такое геометрия. И тут оказалось, что мы не

умеем

давать

определения

не

только

таким

сложным

понятиям,

как

геометрия,

но

и

элементарным, таким как стул, ребенок, самолет.

На

этом

уроке

мы

учились

давать

определения

и

как

бы

заново

открыли

известную

Аристотелевскую формулу, что:

Определение понятия = Ближайший род + Видовые отличия

С помощью этой формулы мы попытались дать определения основным понятиям геометрии:

прямая, луч, треугольники, точка. Выделили исходные, первичные понятия и производные, то

есть

очертили

поле

основных

понятий,

задумались

над

вопросом:

"Каким

законам

их

подчинить?"

4урок. Что для меня значит изучить геометрию?

Уже предшествующие уроки дали нам серьезную пищу для размышления над этим вопросом.

Ответы ребят на него можно представить так:

1.

Это значит научиться решать задачи и доказывать теоремы.

2.

Научиться мыслить и рассуждать логически.

3.

Понять предмет геометрии (что же она изучает), и разобраться

с фигурами в пространстве.

4.

Изучить

основные

понятия

геометрии,

фигуры

и

тела

на

плоскости и в пространстве, а также все их свойства.

5.

Освоить методы решения задач, которые можно применить как в

математике, так и в жизни.

Были еще и другие ответы, как часть или комбинации вышеприведенных.

И хотя ребята согласились, что изучать геометрию - это все перечисленное выше, но все-таки

главной целью для себя они определили: научиться мыслить и рассуждать логически.

И уже с этой позиции при последующем анализе они оценивали результаты своей работы.

Перед учителем же возникла проблема освоения способов логического мышления и выбора

материала для этого. Вот лишь некоторые моменты их рефлексии в этот день погружения:

"Сегодня на уроках мы пытались понять, что такое геометрия, где она применяется. Мы

пытались составить программу погружения" (Ионов ).

"На погружении сегодня мы вырабатывали план нашего изучения геометрии" (Дебольская).

"Мы искали направление нужное и интересное нам" (Разбегаева).

В

этот

день

многие

ребята

разобрались

в

причинах

своих

трудностей

при

изучении

математики и смогли самоопределиться по отношению к геометрии и процессу ее изучения,

определили в первом приближении область своего незнания.

"Я немного поняла, что подразумевается под логическим мышлением: поняла, что теоремы я

доказывать не умею (подчеркнуто автором)" (Гаврикова).

Таким

образом,

учителем

была

организована

ситуация,

в

которой

ребята

выбирали

и

осмысливали свою собственную цель изучения геометрии, намечали пути движения к ней.

Эта же цель была сформулирована для домашнего обдумывания и осмысления.

Кроме того, ставилась задача выделить исходные, первичные понятия геометрии, и с их

помощью дать определения остальным понятиям и геометрическим фигурам.

Здесь

учитель

смог

реазизовать

несколько

задач:

с

одной

стороны,

включение

ребят

в

терминологическое поле геометрии, а с другой - освоение и отработка механизма определения

понятий, сформулированного и разобранного на уроке.

Второй день погружения

В этот день перед учителем стояла задача разобраться вместе с ребятами, что же мы понимаем

под логическим мышлением и, выделив какой-либо элемент этого процесса, попытаться им

овладеть

на

каком-то

материале

геометрии.

Один

из

важнейших

элементов

процесса

логического

мышления

-

освоение

механизма

определения

понятий

(геометрических).

Поэтому на 1- ом уроке ребятам в командной работе было предложено дать определение

понятиям: ломаная,

треугольник,

перпендикуляр,

высота,

медиана,

вписанный

угол,

центральный

угол,

четырехугольник,

дуга,

диагональ,

прямоугольник,

трапеция,

многоугольник, куб, грань, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус, шар, призма, вектор …

То

есть

спектр

понятий

охватывал

весь

курс

геометрии

средней

школы,

включая

и

стереометрию.

И

это

не

случайно,

так

как

для

учителя

было

ясно,

что

на

материале

планиметрии 7-8 класса очень трудно освоить причинно-следственный метод доказательства

из-за избыточности системы употребляемых аксиом и неясности принципов формирования

этой системы как для ребят, так и для учителя. Эти недостатки изложения курса геометрии

проявляются уже при доказательстве первых теорем о равенстве треугольников, которые

требуют введения вместо первичных основных аксиом целого ряда аксиом измерения и

откладывания без сколько-нибудь серьезного обсуждения и обоснования выбора именно этой

аксиоматики. А так как выбор ее с ребятами не обсуждается, то и все дальнейшее изучение

геометрии становится заучиванием фактов и выводов, сделанных "умным" дядей.

Иная ситуация вырисовывается с курсом стереометрии в 10 классе. Там обосновывается ввод

четырех аксиом стереометрии по аналогии с таким же количеством аксиом планиметрии и,

опираясь только на эти аксиомы, разбирается целый класс пространственных задач и теорем.

При

этом

очень

четко

просматривается

логическая

цепочка

доказательства

от

самых

исходных, первичных аксиом, ко всем теоремам. Этот материал был вполне пригоден для

освоения

следующего

приема

логического

мышления

выстраивания

прямой

причинно-

следственной логической цепочки.

И пока команды работали над определением понятий, погружаясь в пространство всего курса

геометрии

средней

школы,

учитель

с

лидерами

команд

обсуждали

цели,

задачи

и

пути

движения к намеченной цели. При этом обсуждении демонстрировались способы разбора в

группе, которые они потом могли использовать в своей работе с ребятами.

Н а 2-ом уроке такая работа проходила уже в каждой группе, где ребята, осмысливая свои

домашние наработки, пытались определить цель погружения и путь движения к цели, а заодно

и понять, на каком материале это движение будет наиболее продуктивным для них.

Нельзя сказать, что предложенные пути были одинаковыми, хотя учитель и поработал с

лидерами в этом направлении. Кто-то предложил идти от конкретных задач планиметрии и на

них осваивать логику доказательств. Кто-то настаивал на последовательном, как в учебнике

Погорелова А.В., изучении предмета. Но основная часть класса согласилась с необходимостью

прежде

всего

научиться

конструировать

логические

цепочки

на

том

материале,

который

наиболее доступен. При этом не было отброшено ни одно из предложений учеников, теоремы

планиметрии также были исследованы с позиции причинно-следственных связей, но это

произошло позже, в последующие дни погружения.

А пока ребята сформулировали основные, первичные понятия геометрии (планиметрии и

стереометрии) и аксиомы, которые должны удовлетворять основным понятиям. И началось

конструирование логических цепочек при доказательстве предложений и задач о взаимном

расположении в пространстве точек, прямых и плоскостей, то есть была предпринята попытка

логическими приемами исследовать их взаимоотношения.

Из рефлексии 2-го дня погружения:

"Сегодня была интересная работа в группах. Мы выделяли понятия геометрии и учились

давать им определения. Я участвовала по- моему хорошо, работала энергично. Было очень

интересно, и меня захватил азарт урока. Я попыталась логически думать, помогать своей

группе работать. Мне понравилось изучать фигуры в пространстве. Впечатление хорошее,

правда голова кругом идет, зато уроки пролетели незаметно из-за их интересности. Я

продвинулась

в

освоении

"логического

мышления"

и

по-моему

достигла

своей

цели"

(К.Гришаева).

"Мы

играли,

опять

хорошо

работали

по

группам.

Узнали

много

о

планиметрии,

стереометрии, разработали систему аксиом. Я тоже работала в команде, играла, помогала

одноклассникам

работать,

решать

поставленные

задачи,

вникала

в

планиметрию,

стереометрию и аксиомы. И вообще - погружалась. При этом я испытывала удовольствие,

т. к. мне понравилась групповая работа. И признаюсь честно, уж насколько я не люблю

геометрию,

эти

уроки

мне

нравятся.

У

меня

нет

никаких

сомнений

сегодня

в

целесообразности погружения. Пусть будет так и дальше! Я поняла, как давать определения

любым фигурам, узнала аксиомы. Свою сегодняшнюю работу я, думаю, выполнила наполовину,

потому что я еще не совсем научилась логически мыслить" (О. Галактионова).

Меня, как учителя, насторожил тот факт, что в своих рефлексивных текстах ребята часто

отождествляли

процесс

логического

мышления

с

процессом

выстраивания

причинно-

следственной цепочки рассуждений. Это наблюдение заставило меня засесть за литературу о

формировании

мышления

и

уже

на

следующий

день

показать

ребятам,

как

с

помощью

построения

только

причинно-следственной

цепочки

рассуждений

и

доказательств

можно

обосновать заведомую нелепость, абсурдное или парадоксальное утверждение! И тем самым

дать пищу для размышления и осмысления феномена мышления и не только логического.

Вопрос "Как научиться логическому мышлению и что это значит?" был для меня так же

интересен, как и для детей и я вместе с ними нащупывал способы и механизмы освоения этого

логического или понятийного мышления.

3-ий день погружения

Еще

раньше

мною

было

замечено,

что

при

доказательстве

теорем

и

решении

задач

на

доказательство

основное

внимание

ребята

обращают

на

построение

логически

непротиворечивой цепочки рассуждений, почти не уделяя внимания этапу постановки задачи,

не анализируя условие, а также не разбирая и не исследуя тот результат, который они

получили

при

решении.

Прежде

всего,

его

достаточность

и

единственность,

а

также

адекватность методам и приемам доказательства. Таким образом, два важнейших звена -

постановка задачи и анализ результата - ребятами чаще всего опускаются при решении задач.

Поэтому в этот день, прежде, чем мы стали работать с геометрическими задачами, ребятам

были предложены логические тексты, анализ которых и подводил их к необходимости уделять

пристальное

внимание,

как

исходным

данным,

так

и

непротиворечивости

каждого

последующего шага в процессе рассуждения. Например, несколько софизмов, пришедших к

нам из Древней Греции:

1.

To,

что ты не терял,- ты имеешь. Рога ты не терял, значит у тебя есть рога.

2.

Сидящий встал. Кто встал, тот стоит. Следовательно, сидящий стоит.

3.

Сократ - человек, но человек не то же самое, что Сократ. Значит Сократ - это не

то же самое, что Сократ.

4.

2 и 3 - четное и нечетное числа. Их соединение дает число 5. Значит 5 несет в

себе

одновременно

четность

и

нечетность.

Таким

образом,

5

-

внутренне

противоречивое число.

Анализируя эти и другие тексты мы пытались понять, на чем основаны эти софизмы, на каких

логических ошибках. Было замечено, что:

1)

в некоторых текстах происходило принятие ложных посылок за истинные,

следовательно, - внимание к условию и постановке задачи;

2)

несоблюдение правил логического вывода, то есть отсутствовала достаточная

система оснований, чтобы сделать этот вывод, и он делался из неполной системы,

значит внимание к каждому последующему шагу умозаключения;

3)

умышленная

подмена

тезиса

доказательства,

следовательно,

необходимо

анализировать

полученный

результат

на

адекватность

поставленной цели и т. д.

Потом были рассмотрены геометрические софизмы все треугольники

- равнобедренные" или "тупой угол иногда равен прямому" из книг

английского математика Льюиса Кэролла.

Дано: ABCD - квадрат; АЕ = BE; DF = CF;

Откладываем радиусом, равным СВ из точки С дугу ВG и делаем

отрезок AG пополам точкой Н,

АН

= G H.

Проводим перпендикуляр НК к AG до пересечения с EF в точке К. Таким

образом, получим: 1)

по трем

сторонам, так как

АД = CG по построению,

DK = СК из равных

=

АК = GK из равных

=

2)

В равных треугольниках соответственно против равных сторон лежат равные

углы, значит. угол АDК = углу GCK но каждый из них состоит из равных углов

и

должен быть равен

так как

3)

Таким образом, мы пришли к выводу, что прямой угол ADF равен тупому GCF.

Анализ

данного

софизма

позволил

выйти

на

необходимость

внимательного

подхода

к

процессу

доказательства

любой

теоремы

или

задачи.

Перед

ребятами

встала

проблема

формулировки алгоритма доказательства и способа своей деятельности по этому алгоритму.

Такие

попытки

были

предприняты

на

уроке

и

продолжены

дома

как

основная

задача

домашней работы. Потом каждый пытался реализовать на конкретном материале геометрии

свою

схему

или

алгоритмы

процесса

доказательства.

Решали

и

доказывали

теоремы

о

свойствах четырехугольников. И хотя это был материал 8-го класса, он более подходил к

задаче урока, т. к. давал возможность не только выстраивать цепочку умозаключений, но и

анализировать структуру своего доказательства согласно выбранному подходу. Вот один из

подходов, который обсуждался в классе в этот день:

Этапы доказательства:

I.

Анализ условий:

-

о чем идет речь в этой задаче или теореме?

-

каково условие, как его можно кратко сформулировать?

-

попытаться сделать схематическую запись работы;

-

что требуется доказать?

-

что я должен получить на выходе?

II.

Определение способа решения задачи и метода доказательства.

III.

Составление плана решения.

IV.

Решение

и

проверка

на

непротиворечивость

и

обоснованность

каждого шага доказательства.

V.

Проверка результата решения:

-

на адекватность поставленной цели,

-

на достаточность и единственность,

-

на непротиворечивость.

VI.

Формулировка вывода.

VII.

Анализ процесса решения задачи:

-

как мы ее решали, что делали;

-

за счет каких приемов и действий мы достигли результата или, если не достигли,

то почему?

Однако, когда мы стали накладывать эту схему на конкретные задачи планиметрии, перед

нами сразу возникла проблем: как освоить эти способы мышления. В истории человеческой

культуры уже накоплены образцы и способы построения логического умозаключения. Более

того, ребята и раньше уже использовали эти методы и приемы, только не осознавая, что они

мыслят логически. Это и метод прямого логического следования (дедуктивный), и метод

доказательства от противного, и метод индукции, и метод аналогии, и т. д.

Задача учителя в этот и последующие дни погружения заключалась в том, чтобы у ребят

произошло соотнесение той деятельности, которую они выстраивали на уроках погружения, с

культурными образцами мышления, наработанными многовековой историей развития науки.

Но

для

этого

нужно

было

работать

в

пространстве

соответствующего

материала,

позволявшего демонстрировать эти культурные образцы и осваивать их. Это был и материал

пространственной геометрии Х - XI класса, и теория многоугольников IX класса, и, конечно,

курс геометрии VIII и VII классов.

Однако,

для

того,

чтобы

двигаться

в

этом

пространстве,

необходима

база

понятийного

аппарата геометрии и основных аксиом и теорем, хотя бы на уровне 7-8 классов. Мы же на

своих

уроках,

развивая

свои

цели

по

формированию

способов

мышления,

не

уделяли

достаточно времени отработке и доведению до автоматизма основных понятий, аксиом и

теорем

геометрии.

Конечно,

были

ребята

способные,

с

хорошей

памятью,

у

которых

накапливалась необходимая база геометрических понятий. Но они не составляли большинства

в классе. И перед учителем встала еще одна задача: каким образом организовать на уроке

деятельность по интенсивному накоплению и прояснению основных геометрических понятий,

с которыми ребята уже, в принципе, встречались на предыдущих уроках или при чтении

соответствующей

литературы.

Как

помочь

им

структуировать

эти

понятия

и

свойства

и

уложить в своем сознании?

При этом нужно было создать условия, чтобы работали все ученики, работали свободно, без

торможения

и

без

спешки

(гонки

за

лидером).

Обычная

организация

повторения

(фронтальный опрос) по понятным причинам здесь не годился, так же как не годилась

самостоятельная работа, результаты которой могли проявиться (если, конечно, проявились бы)

только через несколько дней, т. к. при ее проверке необходим был анализ этой работы

учителем, потом совместный анализ с учеником, и наконец, составление плана ликвидации

пробелов и т. д.

Конечно в этот день были использованы разнообразные формы актуализации данной задачи. В

их числе и групповая рефлексия:

- Какие трудности испытывали при движении к цели?

- Что не получилось и почему?

- Какие возникли проблемы?

- Почему у меня не получается решение задач и каких?

И самостоятельная работа по командам с обсуждением каждого шага движения.

И обсуждение у доски одной из задач и схемы доказательства.

И демонстрация культурных образцов мышления.

Основным же приемом, который позволил включить всех в интенсивный процесс освоения

знаний и навыков, явился процесс определения рейтинга ученика как математика-геометра в

классе. Суть этого приема в том, что всем учащимся предлагается самостоятельно определить

свой рейтинг, отвечая на вопросы, которые задает учитель или любой из учеников. Вопросы

охватывают

весь

спектр

необходимого

материала

и

соответствующим

образом

структурируются учителем. После каждого вопроса дается время на размышление и потом

начинается обсуждение. При этом каждый ученик, Независимо от того, принимал ли он

участие

в

обсуждении,

мысленно

сравнивает

свой

собственный

ответ

с

коллективно

найденным

эталонным

решением

и

ставит

сам

себе

зачетный

балл.

При

этом

баллы

добавляются, если человек рискует вынести свои умозаключения на всеобщее обсуждение или

не боится выступать с критикой по поводу услышанного, отстаивая свои подходы.

При

такой

работе

ребята

не

только

напряженно

работают

над

вопросами,

т.

к.

есть

необходимость сравнить свой результат с результатом партнеров, но раскованы (их никто не

вызовет к доске). Они учатся в то же время приемам ведения научной дискуссии. Ведь они

получают баллы не за то, что правильно ответили, а за то, что смогли сами для себя

сформулировать ответ и сравнить его с верным.

При такой работе ребята: - учатся выделять главное в предлагаемом вопросе; вопросов много,

а время ограничено.

- Тут же демонстрируются другими ребятами образцы такой работы, при этом осваиваются

приемы сравнения, а также формируются свои критерии сравнения, т. к. у каждого свой язык и

стиль изложения.

- Учатся слушать другого и находить сущностное в тексте, изложенном другими.

- Учатся отстаивать свою позицию (это поощряется) и давать самооценку своим действиям.

Учитель

при

этом

помогает

им

разобраться,

насколько

их

самооценка

адекватна

предъявленным знаниям, учит выделять критерии верного ответа.

В

такой

работе

присутствует

и

определенный

воспитательный

момент,

а

именно,

формирование "концепции собственного Я".

Таким

образом,

в

процессе

определения

своего

рейтинга

ребята

многократно

повторяли

основные элементы геометрии, а учителем попутно решались другие образовательные и

воспитательные задачи.

Из рефлексии 3-го дня погружения

"Мне понравились все уроки. Я поняла, почему я не умею решать задачи - я не знала основные

теоремы и аксиомы, а теперь я их знаю и уже лучше решаю задачи" (Темкина ).

"По-моему, на погружении мы сегодня отрабатывали составление логической цепочки, а

потом отвечали на вопросы и определяли свой рейтинг. Я сегодня чувствовала рабочую

обстановку в классе и интерес к работе. Сомнения у меня были в начале работы по

определению рейтинга. Но теперь мне кажется, надо каждый день проводить рейтинг. Я

еще дальше продвинулась в овладении логическим мышлением, а еще проверила свою память.

По-моему, я почти достигла поставленной цели" ( Гаврикова).

"Решали задачи с логическими цепочками, отвечали на вопросы. Было не очень понятно.

Нужно давать возможность для групповой работы по новому материалу, чтобы все его

поняли. Пока для меня ничего нового не было. Я повторила старый материал. Но нужно было

еще продвинуться вперед. Цели я своей достигла наполовину" ( Малышева).

"Мы немного разобрались со стереометрией. Сегодня каждый определял свой рейтинг, но,

по-моему, не все были объективны к себе. Вначале мне было интересно. Но потом, когда

дошли до 10 вопроса, я устала, т. к. каждый хотел предложить свой ответ и начали

кричать на все голоса. По-моему, надо давать в классе побольше интересных задач на

мышление, а тем, кто мешает, давать теорему на доказательство из стереометрии... "

(Петрова).

"Сегодня мы хорошо работали в командах, а потом мы определяли рейтинг, решали задачи,

учились логике мышления. Вообще 4 урока пролетели, как мгновение, так было интересно. Я

испытывала

удовольствие

(опять).

Я

научилась

составлять

логическую

цепочку

доказательства, пробовала думать логически" (О. Галактионова).

Из анализа рефлексивных текстов было видно, что большинство ребят одобрили работу по

определению своего рейтинга, т. к. это дало им возможность в свободной обстановке

повторить значительный объем материала по геометрии или хотя бы определить область

своего незнания. Интересно, что логические тексты и софизмы (1 урок) не воспринимались

ими как нечто чужеродное, не лежащее в логике геометрии. То есть цель - освоение

элементов

логического

мышления

была

ими

присвоена

и

являлась

критерием

их

собственной самооценки.

Но осмысления этапов и структуры решения задач на доказательство, по мнению учителя,

еще не произошло и это стало задачей на последующие два дня погружения.

4 день погружения

Самый трудный день и для учителя, и для учеников. Несмотря на то, что было всего три

урока, к концу их все чувствовали безумную усталость. Почему? Ответ для меня неясен до

сих пор. Может быть, потому, что учитель в этот день погружение выстраивал сам. Ведь

было всего три урока и очень не хотелось тратить время на групповую и индивидуальную

рефлексию

и

планирование.

И

еще

потому,

что

именно

учитель

был

сознательным

носителем культурных образцов мышления и мог их продемонстрировать на материале. А

может быть, еще потому, что, определив задание на дом (разобрать и схематизировать этапы

решения

задачи,

выделить

методы

доказательства),

учитель

пребывал

в

обычном

заблуждении, что это задание выполнено, дети целый вечер ломали головы над этими

проблемами и теперь они говорят на одном с ним языке.

Наверное, сказалось и первое, и второе, и третье, а может быть, и неблагоприятные в этот

день метеоусловия, но факт остается фактом: наша телега познания в этот день ползла с

большим скрипом.

Для обсуждения и самостоятельной работы был предложен ряд задач, при решении которых

можно

было

увидеть

различные

методы

и

способы

доказательства,

рассуждения,

умозаключения.

Это

задачи

на

доказательство

из

курса

7

класса

(§3,

§4

-

учебник

Погорелова А.В.), задачи на построение (§5, §6), задачи на освоение метода индукции, (§12)

при нахождении зависимости для суммы внутренних углов многоугольника. Задачи из

комбинаторики ("истинно-ложно"). Было предложено не просто решить эти задачи, но и

осмыслить пути своего движения, методы решения и, если возможно, предложить другие

подходы.

Подбор

задач

позволял

это

делать.

Более

того,

в

процессе

решения

ребята

убедились, что существуют приемы и методы, значительно облегчающие поиски решения

задачи, даже отличные от решении, приведенных в учебнике, как образцы. Для меня этот

момент был очень важным, так как он стимулировал ребят критически относиться к уже

известным

методам

решения,

не

останавливаться

не

первом

попавшемся

способе,

а

попытаться проанализировать все возможные применимые здесь способы и приемы. И

только потом, после такого анализа приступить непосредственно к решению задач.

Из рефлексии этого дня:

"Сегодня мы во время погружения учились решать, составлять схемы, находить правильные

рассуждения. Я сегодня не была готова к уроку (наполовину) и потому плохо работала. Уроки

сегодня были труднее, чем прежде, но не такие трудные, как бывают. У меня было немного

ощущение усталости и я больше отвлекалась. Я не смогла решить все задачи, потому что не

совсем их понимаю, знаю не все теоремы и аксиомы" (Дебольская).

"Мы опять учились решать задачи, писали самостоятельную работу, продвигались дальше. Я

чувствовала страх, потому что не могла решить задачу, т. к. не совсем ее поняла. Я

испытывала сама затруднение и неловкость за товарищей, которые не знали аксиом.

Впечатление неплохое, но уроки были не очень интересные. Не получалась работа из-за

усталости. Я узнала о методе доказательства по индукции и других различных способах

доказательства. На первом уроке услышала и решала интересные софизмы. Но цели мы своей

сегодня не достигли, т. к. многие не сделали полностью домашнее задание. Я еще не совсем

разобралась в том, почему у меня не получается решение задач" (О. Галактионова).

"Мы сегодня составляли опорный конспект по методам решения задач, решали различные

задачи. Для меня с помощью конспекта оказалось легче разобраться в задаче и решить ее. На

уроках был новый материал и, может поэтому, не было командной работы. А жаль. Цели

своей

мы

сегодня,

наверное,

достигли.

А

вообще-то

трех

уроков

мало.

Дома

труднее

работать с материалом" ( Малышева).

Это

рефлексивные

тексты

"средних"

учеников

в

основном

с

гуманитарным

складом

мышления. Я сознательно не привожу здесь тексты наиболее продвинутых в математике ребят,

т. к. там почти не проявляются проблемные ситуации. Все нормально, все как обычно. Но даже

в

текстах

этих

ребят

ощущалась

усталость.

Чувствуя

это,

учитель

попытался

сразу

на

перемене (после 3-го урока) набросать свой рефлексивный текст этого погружения, не имея

еще текстов детей:

"Мне кажется, что этот день прошел хуже предыдущих дней погружения, т. к. я

торопился, пытался втиснуть все задуманное в эти три урока и ощущал сопротивление

ребят.

Сегодня мы учились размышлять, применять освоенные навыки к различным задачам, в

том числе и к задачам логических софизмов. Я все эти три урока старался изо всех сил

понять, что же мешает ребятам выйти на понимание приемов и способов логического

мышления. Может быть, усталость их и моя, т. к. у меня была сумасшедшая, бессонная

ночь. Я в течение этих уроков порой ощущал безнадежность своих усилий. Видимо, я еще

не

вполне

освоил

способы

педагогической

работы,

не

научился

просто

и

интересно

компоновать материал".

А впереди последний, пятый день погружения и последний учебный день. Поэтому нужно

было еще раз осмыслить весь пройденный путь и попытаться найти какой-то выход, ведущий

к пониманию своей собственной деятельности и для ребят, и для учителя прежде всего.

Попытаться

собрать

и

обобщить

наработанное.

Ведь

хотелось

не

просто

закрепить

достигнутое, но и показать, что логика не есть панацея от всех бед и ключ к решению любой

жизненной

задачи.

Показать,

что

есть

задачи,

которые

в

рамках

логического

мышления

неразрешимы или надо переходить на качественно другой уровень этого мышления, реально

оценивая границы, ему доступные.

Поэтому, наряду с обычной работой над освоением задач, решаемых логическим путем,

учитель предложил ребятам, поразмышлять над дошедшими до нашего времени апориями

Зенона: "Дихотония", "Ахиллес и черепаха", "Стрела", "Стадий", а также над известным

парадоксом "Лжец", когда в простейшем варианте этого парадокса человек произносит всего

одну фразу: "Я лгу" и требуется определить, истинно или ложно это высказывание. Ведь если

лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду. И здесь уже законы

формальной логики не срабатывают.

Не буду подробно описывать работу этого дня. Ограничусь лишь рефлексивными текстами

ребят.

"Сегодня была работа по группам, и я участвовала в ней также, как и другие ребята. Мы

решали задачу, которую люди решают 600 лет. Меня раздражало, что вы нам задаете то,

что никто не знает и не сделает. А продвинулась я более всего в стереометрии" (Петрова).

"Сегодня был последний день нашего погружения, и, с моей точки зрения, главные уроки его -

завершающие. Я решала задачи, участвовала в командной работе, поднимала руку, думала.

Бывало, ответить опасаюсь, а мысли у меня такие же, как у другого. Сегодня было

интересно, хотя и чувствовалась усталость (казалось, что эти 4 урока будут длиться

вечность). Цели своей по освоению приемов логического мышления мы достигли не совсем. Я

освоила решение задач за курс 7 класса (§1, 2, 3, 5), а также §6 за 8 класс и §§14, 15 за 10

класс" (Дебольская).

"В основном погружение мне понравилось. Я убедилась, что могу решать в принципе задачи

из

курса

по

геометрии

и

7-го

и

других

классов.

Просто

для

освоения

этого

нужно

определенное время" (Малышева).

"Сегодня я испытывала облегчение, ведь был последний день погружения. Интересно и

занимательно было на 1, 3 и 4 уроках. На первом - решали логические задачи, на третьем -

работали по группам, на четвертом уроке - писали самостоятельную работу. Я бы хотела в

основном работать по группам, т. к. это развивает мое мышление. Но я сомневаюсь в том,

что мы пришли, наконец, к намеченной в начале погружения цели. Наверное, каждый по-

своему к ней продвинулся. Кто-то не достиг и половины, а кто-то передостиг. Главное мы

можем теперь решать различные задачи геометрии и стереометрии при помощи приемов

логического мышления" (К. Гришаева).

"Погружение по геометрии было совсем не похоже на уроки геометрии. На погружении мы

решали задачи по геометрии и стереометрии, учились логическому мышлению. Последние

уроки погружения прошли у меня плохо. Я не усвоил почти ничего. Нет, понял, конечно, но

мало. А в командной работе я прятался за спинами других. Сергей Бусалаев помог мне понять

кое-что и Паша тоже. Они вдвоем и работали, в основном за всю команду, и я понимал, когда

они объясняли, но не все" (Яценко).

"На уроках погружения мне понравилось, мне было интересно, т. к. я многое поняла, чего

раньше не совсем понимала до конца. Это происходило потому, что занимались предметом в

течение всей недели, не отвлекались на другие. Я лучше поняла, как решать задачи на

плоскости и в пространстве. Хотя цели своей достигла не во всем" (Печенкина).

"За время погружения мы изучили много нового, научились логически мыслить, решать

задачи. Материал мне было усваивать легко. И мне кажется, что все уроки геометрии надо

проводить так же, так как здесь можно хорошо осваивать различные методы решения"

(Ионов).

"На погружении мы осваивали приемы логического мышления и решали с их помощью задачи.

И,

хотя

я

чувствовала

сегодня

жуткую

усталость,

интерес

к

урокам

был,

наоборот,

повышенный. По-моему, это был самый интересный день погружения. Я поняла, что в

культуре существует очень много методов доказательств и многое узнала о них. Я поняла

метод прямого логического следования, доказательства от противного, метод индукции,

дедукции, разобралась с задачами стереометрии (§§14, 15). И, по-моему, я все-таки освоила

логическое мышление (хотя и не совсем)" (Гаврикова).

Итак, погружение закончилось, но осталось ощущение незавершенности и у учителя, и у

учеников. Учителю предстояло проанализировать результаты и спланировать конкретную

работу по выходу из погружения и по включению класса в повторное мини - погружение в IV-

ой четверти. Были еще уроки, на которых мы пытались реализовать то новое, что получили во

время погружения. Были индивидуальные занятия и персональные задания для тех, кто не

смог полностью реализоваться на погружении (по различным причинам) и выполнить свою

задачу.

При этом учитывалась индивидуальность ребенка, его темп продвижения к цели. Таким

образом, к концу третьей четверти мы полностью завершили изучение геометрии 7 класса

(были выставлены годовые оценки) и в IV четверти могли уже двигаться дальше.

Наблюдения и анализ погружения в геометрию

1. В процессе погружения в геометрию происходило накопление усталости ото дня ко дню,

которая проявилась в полной мере 19. 02. в 4-й день погружения, несмотря на то, что в этот

день

было

всего

три

урока.

Ребята

работали

интенсивно,

многие

"на

пределе",

но

поставленная цель - освоить приемы и методы логического мышления была, видимо, слишком

далекой и поэтому не все смогли оценить, насколько они приблизились к ней. Тем более, что в

этом возрасте не все могут получать удовлетворение от процесса познания, движения к цели,

когда еще результат не достигнут.

Рекомендации на будущее:



необходимо проводить занимательные уроки, чтобы избежать переутомления и

перегрузок;



необходимо иметь промежуточные цели; чтобы ребята постоянно ощущали

результаты своего труда.

Например: набор логических задач, с которыми они явно не справляются на первых уроках,

предложить им через 2-3 дня погружения и дать отрефлексировать, что же произошло за эти 2-

3 дня.

Большинство

ребят

пытались

рационализировать

свою

деятельность

в

процессе

погружения, то есть непроизвольно выделять алгоритм решения задач и его запоминать. А так

как спектр задач был очень широк, то это приводило к утомлению. И только несколько человек

(Домбровская, Буслаев, Гаврикова), не исключая рациональной деятельности, попытались

выйти

на

понимание

способов

своей

деятельности.

Вернее

на

запоминание

(различным

образом) этих способов и применения их в различных проблемных и задачных ситуациях.

Поэтому у этих ребят не вызывали паники задачи из 9-11 классов, так как при их решении

можно было применить освоенный способ.

Для

остальных

же

ребят

предложенные

задачи

составляли

определенную

трудность

и

требовали от них, согласно выработанному алгоритму, освоения всей теории геометрии в

рамках программы 9-10- 11 классов, что психологически создавало определенные трудности.

Но тем не менее, по прошествии некоторого времени многие ребята смогли вернуться к этим

задачам и попытаться их решить в домашних условиях. Возвращение к темам геометрии 7-10

классов для многих было очень результативным.

Таким образом, процесс познания был как бы двухступенчатым:

I

ступень: освоение способов мышления и освоение предметного поля

материала

(геометрического),

где

эти

способы

можно

применять,

даже

без

ощутимых для себя конечных результатов работы в этот период;

II

ступень:

освоение

конкретного

материала

математики

с

помощью

усвоенных способов.

Еще

раз

подчеркиваю,

что

на

II

ступени

познания

для

многих

ребят

применение

этих

усвоенных

способов

было

неосознанным.

Точнее,

они

об

этих

самых

способах

и

не

задумывались.

Для небольшой группы наиболее продвинутых ребят результатом погружения явилась

уверенность, что они могут справиться с любой задачей из курса геометрии. Все зависит от

времени, необходимого на освоение новых понятий и терминов, используемых в конкретной

задаче. Это ученики подтвердили не только при решении задач стереометрии, но и при

подготовке к творческому экзамену по геометрии, взяв на себя смелость разобраться в основах

геометрии Лобачевского, Римана, Гаусса, в математической модели пространства Фридмана и

др., а также попытались обосновать свои представления о геометрии.

Погружение

получилось

ориентированным

на

группу

сильных

ребят,

наиболее

продвинутых в математике.

Выход: проводить погружение так, чтобы каждый ученик на задании решал не общие, а свои

личные задачи и осваивал свои способы, развивал свои математические способности. Как на

уроках алгебры, задача должна быть из зоны ближайшего развития.

Первое погружение - это освоение пространства геометрии, - имело, по моему мнению и

недостаток: не отрабатывались конкретные задачи и теоремы, необходимые для дальнейшего

изучения курса геометрии (особенно при переходе в другую школу). То есть не доводилось до

автоматизма. Для слабых и сильных учеников необходимо было время для развертывания и

завершения процесса освоения нового материала.

Повторное мини-погружение в геометрию происходило на двух спаренных уроках 24 и 27

апреля, то есть более, чем через три месяца после первого погружения. Итак, всего 4 урока,

две пары.

1. Момент включения в мини-погружение: до урока перед ребятами была поставлена

задача:

а)

составить

концепт

какого-либо

раздела

геометрии,

по

возможности

кратко,

содержательно и ярко;

б)

выбрать любую задачу из геометрии (можно из предложенных учителем или другую

того же уровня сложности), осмыслить ее решение, зафиксировать способ ее решения;

в)

в виде аналог - текста или рисунка составить свое представление о развитии

геометрии.

Так как задача была поставлена достаточно абстрактно (а класс привык к конкретной работе),

то полностью эту триединую задачу мало кто смог выполнить. Но даже сданный "кусочный"

материал

и

его

критический

анализ

позволили

учителю

конкретизировать

задачу

и

к

следующей паре уроков (27.04.) задание было выполнено всеми учениками с той или иной

степенью тщательности и добросовестности.

Главное же для учителя в этом домашнем задании было вернуть учащихся к материалу 3-

месячной давности, по возможности включить их в поле проблем математики, разбираемых

при первом погружении, другими словами, заставить заработать свою память.

2. Урок. Организационная деятельность.

Задача, которую ставил перед собой учитель, состояла в том, чтобы включить всех учащихся

(и тех, кто готовился дома, и тех, кто игнорировал подготовку) в мыследеятельностный

процесс

и

в

совместную

коммуникацию

по

поводу

предмета

геометрии.

Поэтому

после

краткого критического анализа домашнего задания классу была предложена игровая ситуация.

Необходимо было, разбившись на группы, выработать совместно представление о развитии

истории геометрии, представить его в виде аналог-текста и рисунка. Быть готовым защитить

именно такой проект, показав его диалектичность и жизненность.

Из домашних работ вырисовывались следующие контуры проектов развития геометрии:

1)

Геометрия - как дерево, растущее и плодоносящее.

2)

Геометрия - как здание, строящееся и т. д.

3)

Геометрия - как движение космоса, пульсирующая вселенная (это подсказка

учителя).

4)

Геометрия - как структурная схема взаимосвязанных наук и разделов.

При работе в классе и дома добавились еще три проекта.

5)

Геометрия - как живой организм (человек).

6)

Геометрия - как дорога.

7)

Геометрия - как движение лодки по реке познания.

Кроме групп разработчиков проектов, кто хотел, мог определиться в группу критиков или

защитников проекта. Роль критика или адвоката мог взять на себя любой учащийся из любой

группы,

что

вскоре

и

произошло,

когда

закипели

страсти

по

поводу

уже

первого

представленного проекта "Геометрия - как дерево". Автором его был

ученик Дима Яценко, а к нему присоединились Роман Назаров и Максим Карамышев.

Следует сразу сказать, что в результате совместной работы творцом проекта оказывался

весь класс, так как сам проект рождался не столько в кругу "тройки" или "пятерки" (они

только намечали основные линии), а во время его обсуждения и защиты в классе и

складывался он из вопросов на понимание, которые задавались и на которые тут же

находился ответ в классе; из критики и защиты. Может быть впервые в моей практике

учителя я увидел познавательную силу вопроса для формулирующего его ученика (так как

он и сам сразу начинал искать ответ на него) и для всего класса, который не оставался

безучастным. Увидел, как каждый вопрос или ответ порождал множество новых и

вовлекал умы ребят в непрекращающийся мыслительный процесс. И если бы не

ограниченность во времени, мы могли бы одним только проектом заниматься весь урок.

Приведем для примера несколько проектов, дающих наглядное представление об истории

развития геометрии.

Геометрия - как растущее, цветущее и плодоносящее дерево, которое произрастает на почве

разумной жизни с ее обычными потребностями, запросами и внутренними метаморфозами.

Итак, дерево это уходит корнями в жизнь, но оживляют эти корни минеральные, живительные

воды подводной реки математики, которые и питают это дерево. Корни дерева - это ученые

мужи - которые всасывают и перерабатывают математические знания и жизненный опыт и

создают основы науки геометрии - ее ствол. Ствол, в свою очередь, разветвляется на две части

- "стереометрию" и "планиметрию", на ветках которых нанизаны различные теории, темы,

разделы и проблемы, существующие и возникающие в этих науках.

Листья

дерева

-

это

различные

прикладные

науки

и

знания,

которые

произрастают

из

фундаментальных теорий и в то же время сами способствуют дальнейшему росту и развитию

этих теорий. И, наконец, плоды - это те истины и знания, в которых отражается многовековая

мудрость данной науки. Но созревший плод падает на землю, разлагается и частицы его,

хранящие в себе всю квинтэссенцию знаний попадают и в почву (могут дать жизнь новой

науке,

основанной

на

геометрии

-

новому

дереву

познания),

и

в

реку

Математику

-

способствуют ее развитию, обогащению (как бы минерализуют ее), и опять всасываются в

новом уже качестве корнями дерева геометрии, давая ему жизнь и непрерывное развитие.

Здесь можно увидеть, что наука геометрия - развивающаяся наука, с ее диалектическими

связями и противоречиями, с ее круговоротом знаний, когда каждое новое открытие обогащает

и развивает методологию всей науки.

Ребятам очень понравился этот проект. И уже ориентируясь на диалектичность первого, были

очень быстро раскритикованы проекты здания и структурно-логический проект, как мертвые,

неразвивающиеся, в которых отсутствует движение. Хотя проект "здание" имел резервы,

неиспользованные проектировщиками, которые могли его превратить в достаточно гибкую и

развивающуюся гипотезу. На что и указали "адвокаты" в своих оценках. Но первая удача

данного урока состояла в том, что все ребята почувствовали, что если они занимаются не

получением мертвых готовых знаний, то и сама наука и движение по ней должно быть живым,

непрекращающимся цикличным процессом развития. То есть они должны сами выстраивать

для

себя

процесс

познания

геометрии

как

живого

организма,

связанного

с

ними.

Неудивительно поэтому, что уже в дальнейших проектах ученики находили и указывали место

и для себя. Так, в проекте "здание" - они помощники каменщиков-ученых. В проекте "лодка" -

они гребцы вместе с учителями и учеными. В проекте "вселенная" - они маленькие спутники

планет (учителей) и светил (ученых) и т. д.

Ольга Петрова, Катя Гришаева, Ира Гуслякова.

"Лодка"

В нашем представлении геометрия, ее метод познания жизни - это лодка, плывущая по реке

истории науки. И река эта имеет свои истоки и течет до тех пор, пока существуют науки, в том

числе и математика. Небо над этой рекой - стереометрия, уходящая в бесконечность. Берега -

планиметрия. Стереометрия связана с планиметрией и с самой рекой истории дождями. Дожди

- это новые гипотезы и открытия, которые возникают, пройдя сложный путь через основы

геометрии - планиметрию (вода стекает по берегам, изменяя свой состав), проверяется и

перемешивается

в

реке

истории,

самая

суть

ее

испаряется

и

в

небесах

стереометрии

собирается в облака теорий, чтобы пролиться плодоносящим дождем на реку, планиметрию и

лодку - математический метод. Солнце - это метод логического мышления, которое своими

лучами пронизывает всю геометрию и историю науки. Оно помогает формированию новых

облаков-открытий. Но бывает и ночь, когда нет солнца, нет облаков, а значит, нет никаких

открытий в геометрии в этот период. Лодка геометрии движется по реке, а впереди ее

поджидают камни, рифы и мели - проблемы. В лодке сидят ученики и ученые, изучающие и

создающие геометрию. Ученики сидят на веслах - аксиомах и с их помощью продвигают

лодку к новым знаниям, а ученые управляют движением лодки и учеников. Если лодка

натолкнется

на

камень

или

сядет

на

мель

-

проблему,

то

ученики

и

ученые

вместе

преодолевают эти трудности, решают эти проблемы. Бывает, что проблема не решается, и

лодка

прочно

застревает

на

мели.

Тогда приходится

просить

помощи

у

других

лодок,

плывущих рядом или позади и определяющих другое направление развития геометрии. Люди,

которые плывут в лодке, садясь на мели или причаливая к берегу, выходят из лодки и учат

других людей, как решать эти проблемы. И эти, более молодые люди могут строить свои

лодки или продолжить дело своих учителей, оставаясь в старой лодке. Они в свою очередь,

передают свои знания своим ученикам, детям и внукам. Так эта наука геометрия и дошла до

нас и мы теперь сидим в ее лодке. А потом эти знания мы передадим другим, не обязательно в

плане геометрии. Ведь мы можем построить и свою лодку или плыть по другой реке. Ну а

лодка геометрии будет плыть всегда, но уже с новым экипажем на борту.

Ольга Галактионова.

Семья

Геометрия для меня - это семья, живущая в доме - математике. Мама - аксиома, папа - теорема,

сын - доказательство, дочки: стереометрия и планиметрия, собака - геометрическая фигура.

Сначала появился дом, затем в разных семьях родились теорема и аксиома - мама и папа,

потом

они

"поженились"

и

образовалась

семья,

в

которой

появились

дети,

но

прежде

"молодожены" взяли в дом собаку, так как без нее жизнь была бы невозможна для них. Так

образовалась эта семья и в этом большом доме довольно много подобных "семей". Строили

этот "дом" древние строители.

Цель - в продолжении жизни, в том, чтобы в семье появились на свет "дети" - очередные части

геометрии. Семьи общаются, от родителей исходят знания, которые обогащают всех детей. И

каждый ребенок сохраняет, умножает и переносит знания и умения родителей, создавая

династию.

Мне

кажется,

что

в

такой

семье

я

являюсь

атмосферой,

поглощающей

в

себя

все,

что

происходит в доме. Я впитываю в себя слова и действия, и, в конце концов, мною дышат, то

есть для меня (и для таких как я) это все делается и создается. Это и есть результат моего

участия в развитии геометрии. Я впитываю в себя все новые и новые знания,

законы и способы и передаю это дальше.

Наташа Гаврикова, Даша Домбровская

"Пульсирующая вселенная"

Мы представляем себе геометрию в виде пульсирующей вселенной. Во вселенной нет начала,

как и в геометрии, так как начала у знаний нет, - это наблюдения человека, порождающего все

новые и новые мысли, которые постепенно развиваются в гипотезы, теории, собираясь в одно

целое, как планеты во вселенной из газовых частиц. Затем, как и планеты, эти теории

вращаются вокруг звезд-ученых, которые собирают эти знания, упорядочивают их, открывают

в них новые закономерности и законы. Звезды, в отличие от планет, постоянно излучают

накопленную энергию - отдают эти знания. Лучи от звезд идут во все стороны вселенной.

Даже если некоторых ученых не понимали и не принимали в свое время и эти звезды погасли,

лучи их открытий продолжают свой путь по вселенной до соприкосновения с системой

планет, которая их поймет и использует суть, в них заложенную. Некоторые ученые-звезды

излучают ложные предположения и теории. И тогда их лучи на своем пути могут привести

многие поколения в заблуждение. Но чаще такие лучи сталкиваются с противоречиями,

теряют свою энергию и рассеиваются. После смерти ученых происходит, как и у звезд,

вспышка сверхновой звезды. Шары - мысли взрываются, разлетаются во все концы вселенной,

неся в себе самую суть того, что создал этот ученый, и насыщают своими открытиями и

знаниями другие маленькие звездочки - людей, начавших свой путь в науке геометрии. Эти

люди,

накапливая

знания,

как

звезды,

обзаводятся

планетами,

собираются

в

галактики.

Развитие этих галактик и есть развитие геометрии и этот процесс бесконечен.

Прилагаются еще две гипотезы о диалектике развития геометрии, представленные Катей

Гришаевой, Олей Петровой, Ирой Гусляковой и Олей Галактионовой в проекте "Лодка", и

Наташи

Гавриковой,

Даши

Домбровской,

Наташи

Борисовой

в

проекте

"Пульсирующая

вселенная".

Интересны

изменения,

которые

претерпели

вопросы,

задаваемые

докладчику.

От

натуралистических в начале обсуждения: "А что в

вашем

проекте

есть

Солнце

или

дождь

и

как

они

влияют

на

вашу геометрию?"

они

становились

философскими:

"А

что

является

конечным результатом,

итогом

или

целью

развития

вашей

науки

геометрии, представленной

в

виде

дерева,

здания,

лодки

или

вселенной?" И очень интересны были ответы ребят на эти вопросы.

1)

В проекте "Дерево" смысл развития геометрии - в плодах, в которых сосредоточены все

знания данной науки, выраженной в аксиомах, теоремах и точных математических

открытиях - истинах, которые способствуют не только дальнейшему развитию науки

математики, но и других наук и самой жизни.

2)

В проекте "Лодка" смысл развития науки заключается в развитии и обогащении

самого процесса познания конкретного человека. Тут происходит развитие учеников,

сидящих в лодке вместе с учеными и самих ученых, когда они совместно пытаются

сдвинуть лодку с камней или мелей (проблемы и задачи, на которые наталкивается

лодка во время движения). Т. е. здесь поднимается на щит педагогический аспект

развития науки - ее образовательная роль и смысл.

3)

В проекте "Здание" - результатом строительства является красота и гармония

самого

здания

науки,

которые,

правда,

по

мнению

ребят,

недостижимы

для

развивающейся, строящейся науки. Если же здание уже подведено под крышу и стало

законченным, то это только миг торжества и наслаждения его идеальной архитектурой,

так как вместе со строителями-учеными из него уходит движение. Правда новые

жильцы его оживляют, а строители начинают строить новые здания - развивать новые

науки.

Здесь ребята уже подошли к философским категориям формы и содержания, закону единства и

борьбы противоположностей. Ученые стремятся создать законченное учение, совершенную

теорию. И она, конечно, нужна людям (ученикам), которые поселяются в этом здании. Но миг

торжества недолог, так как настоящих ученых влекут новые замыслы, более совершенные

формы архитектуры предстают перед их взором. А из построенного здания постепенно уходит

жизнь.

4)

В проекте "Пульсирующая вселенная" заложен механизм развития познания. И в

этом движении - смысл науки. Ребята здесь используют закон отрицания, а также

перехода количества в качество. Ведь вспышка сверхновой звезды отрицает старое

светило, рассыпается на множество мелких звездочек, но каждая из них несет в себе в

сжатом виде всю самую ценную информацию, приобретенную вспыхнувшей звездой и

является новой звездой с новым качеством, способной образовывать новые созвездия и

галактики и притягивать к себе все новые и новые знания, пока она тоже не взорвется и

не разобьется на мириады новых звезд с новыми качествами.

5)

Даже

в

структурно-логическом

проекте

построения

геометрии

ребята

увидели

цель

изучения взаимосвязей, пронизывающих и соединяющих все эти структуры. А поскольку

связующим звеном в их понимании является логика, то смысл и цель науки геометрии

является развитие логики.

Отвечая на вопрос о целях своего проекта, ребята отвечали для себя на вопрос: "А зачем

нужна геометрия?" И ответы, как мы видим, были разные:

- познание законченных истин, аксиом и теорем и умение их доказывать;

- педагогический аспект "знать геометрию нужно, чтобы научиться решать задачи и не

только по геометрии;

- методологический аспект: поиски красивых, гармоничных приемов и методов решения

геометрических и прикладных задач;

- философский, гносеологический подход к геометрии, как к науке о развитии, о способах

познания окружающего мира;

- развитие логики, логического мышления, алгоритмики.

Интересно, что при решении задач и описании способа своей работы

Ребята,

так

или

иначе,

опирались

на

свои

представления

о

смысле

геометрии

и

ее

необходимости

для

них

лично.

В

то

же

время

они

как

бы

демонстрировали

культуру

логического мышления. Учителю же при этом оставалось только обращать внимание ребят,

задавая вопрос: "А что сейчас здесь делал Дима?" "Что он демонстрировал?" "Какой принцип

работы или стиль мышления?"

Иванов Д.А. Комментарий к статье А. В. Мойсенко

На

мой

взгляд

данная

работа

представляет

одну

из

наиболее

последовательных

и

осмысленных попыток реализации деятельного подхода (как основного в разрабатываемой

нами

концепции

образования,

ориентированного

на

самоопределение

учащихся)

в

преподавании отдельного предмета - математики, в частности, геометрии.

По

существу,

изложение

своего

подхода

автор

начинает

с

формулирования

своих

педагогических

ценностей,

которые

заключаются

не

в

желании

добиться

от

учащихся

усвоения программного объема материала (знаний), а в осуществлении личностного роста как

учащихся, так и своего собственного. Личностный рост реализуется, по мысли автора, через

постановку проблем, осуществляемую самостоятельно в процессе коллективного обсуждения

некоторого тематически оформленного содержания в соответствии с поставленными целями.

Центральным моментом реализуемого подхода является для автора по-новому осмысленное

содержание математического образования, взятого в его деятельной интерпретации, то есть

каковы тип или способы математического мышления (например, геометрического), которые

должны быть освоены учащимися. При этом выделяются наиболее общие, универсальные

способы или приемы мышления, определяющие решение разных классов конкретных задач.

И, наконец, еще одним важным моментом данного подхода является организация таких

учебных ситуаций (их можно назвать образовательными), когда учащиеся вовлекаются в

постановку и обсуждение целей своего математического образования, его содержания, форм

коллективной работы, а также последующего осмысления (рефлексии) того, что удалось, а что

не удалось достигнуть из намеченного, и почему.

Учащиеся также учатся давать самооценку, участвовать в коллективной дискуссии. Таким

образом, каждый может выбрать тот уровень освоения математики, который отвечает его

способностям, интересам, индивидуальности.

Интересна

сама

форма

написания

работы,

в

которой

видится

попытка

автора

изложить

историю

(дневник)

"погружения"

в

геометрию

как

историю

совместной

с

учащимися

деятельности по освоению определенного содержания. Причем в самой этой деятельности в

качестве основной единицы, которая собственно и претерпевает изменения, трансформацию

период

"погружения",

выделяется

понимание

целей

изучения

геометрии

(и

автором,

и

учащимися) и соответственно содержания, подлежащего осмыслению, освоению.

Хорошо видно, что изменение смысла изучения геометрии имеет тенденцию к укрупнению

осваиваемых единиц содержания. В начале цель состояла в том, чтобы научиться решать

задачи на доказательство. Другими словами, насколько я понял, цель состояла в освоении

таких

способов

мышления,

в

основе

которых

находится

доказательство,

как

некоторый

достаточно универсальный вид или тип мышления. Но уже на следующих занятиях была

сформулирована новая - более общая цель - освоение способов логического мышления (родо -

видовые

отношения).

Затем

появилась

еще

одна

цель,

определившая

совершенно

новый

объект изучения - геометрия как целая наука, со своими основаниями, структурой понятий,

историей своего развития. У учащихся появилось желание рассмотреть и сравнить разные

геометрии: Евклида, Лобачевского, Фридмана. Судя по тексту, данная тенденция отражает

собственные целевые ориентации автора (родились ли они заранее или в процессе осмысления

коллективной работы из текста не совсем ясно).

Таким образом в тексте отсутствует очень важная часть - описание механизма, структуры

педагогической ситуации, которая и породила в коллективном обсуждении новые цели, новый

смысл осваиваемого содержания.

Такая полицелевая форма организации занятий имеет самостоятельное значение, создающее

для учащихся ситуацию выбора своего содержания. Появляется возможность реализовать себя

в математике, в зависимости от своих способностей, интересов. Поэтому одни учащиеся

учились решать задачи на доказательство, другие осваивали некоторые способы логического

мышления, а для третьих главным результатом явилось создание своего собственного образа

геометрии как особой науки, взятой в ее развитии.

Реализуемый подход наглядно демонстрирует то, что никакой культурный опыт, накопленный

человечеством, не может быть перенесен на индивида под копирку, да еще одну на всех. Он

всегда будет трансформирован уже имеющимся у индивида опытом (ценностями или их

отсутствием, целями, неосознанными стремлениями, желаниями, имеющейся сеткой понятий,

смыслов и т. д.). Более того, он никогда не сможет быть не только освоен, но даже замечен,

без собственной "встречной" активности сознания, мышления индивида, без его элементарной

заинтересованности. Отсюда создание ситуаций, в которых учащиеся могли бы проявить свою

активность и на ее основе создать "свой" предмет для размышления, исследования и через

него

войти

в

определенную

культурную

традицию.

Это,

как

я

понял,

является

главной

педагогической задачей автора в процессе преподавания математики.

Часть II

Мойсенко А. В. Учитель математики школы № 734

Проблемы

презентации

предмета

«математика».

Выход

на

формирование

образовательной

ситуации.

1. Год прошедший. От чего отталкиваемся.

В прошлом году мы с ребятами вошли в удивительный мир геометрии, осознанный нами, как

развивающийся мир, имеющий свои законы и свою своеобразную красоту. Мир, состоящий из

нескольких миров - геометрий: Евклида, Лобачевского, Бойяи, Гаусса, Римана, Фридмана и др.

Мы сумели удивиться этому миру. И все же главное для нас в знакомстве с геометрией была не

просто созерцательность и наслаждение гармонией и красотой построения этих миров, но в

большей степени осознание своих способностей, которые могут развиваться при вхождении в

эти миры, в эту атмосферу человеческой культуры, науки.

Чему же научились мы на этих уроках геометрии?

1) Прежде всего, выдвигать свои "гипотезы" и корректно обсуждать их. Это относится не

только к тем гипотезам-мифам развития геометрии, о которых написано ранее. Но и на каждом

этапе или витке погружения в геометрию (а их было 3 - 4 за год), ребята выдвигали свою

гипотезу - что такое геометрия (каждый раз на более высоком уровне осмысления и освоения

этого понятия), что значит изучать геометрию, учились обсуждать и отстаивать свое мнение.

Интересно сопоставить, как развивалось их представление о математике, ее значимости в

процессе становления от формально-утилитарного до личностного. Ионов А., Ломакин –

учащиеся 7-го класса:

«Математика - это наука, изучающая математические величины и

действия над ними. В эту науку включаются разделы: алгебра, геометрия, тригонометрия и т.

д.

Поэтому

для

меня

изучать

математику

-

это

научиться

решать

задачи

и

доказывать

всевозможные

теоремы.

» Ионов

А.

-

через

месяц:

«Математика

-

это

наука

о

жизни,

выраженной в математических моделях. Она возникла очень давно и основана на реальных

жизненных задачах, а затем разделилась на различные направления: геометрию, алгебру и т. д.

Единица этой науки для меня заключается во множестве математических понятий и операций

над ними. Изучать математику - значит научиться решать задачи, осваивая при этом способы

логического

мышления.

Минимум

в

математике

-

освоить

основные

методы

и

способы

решения задач, чтобы иметь возможность решать любые задачи, даже не математически.».

Домбровская

Д.,

Сполысов:

«Математика

-

это

наука,

занимающаяся

взаимосвязями

и

отношениями чисел, величин, фигур и их свойств". Н. Гаврикова, Д.Филиппов: «Математика

- это наука, в которой разрабатываются способы логического мышления, способы решения

задач сначала математических, а с помощью освоения способов мы уже сможем решать и

любые задачи, не только математические. В этом - цель изучения математики».

Гришаева, Гуслякова, Феденева: «Математика - это наука, изучающая окружающий мир, но в

моделях, преобразованных в задачу, и наука, изучающая способы и методы решения задач. Это

наука об аналогиях живого мира с какой-то структурой, математической моделью, где эта

структура и все, что с ней происходит, и есть математика. Поэтому, изучать математику -

значит найти связи в этих структурах и объяснить их, учиться пользоваться ее методами и

достигать с их помощью поставленных целей". Разбегаева, Семигина: "Изучать математику -

это значит осваивать все способы мышления и уметь применять их в жизни. А также понять,

каким образом я нахожу решение задачи".

Галактионова: «Математика для меня - это королева наук, так как с ее помощью я могу решить

любую научную или жизненную задачу. Изучать математику - значит понимать, что и зачем я

делаю, освоить способы мышления и понять, как можно научиться думать".

Горшкова

Н.: «Математика для меня - это наука, которая занимается решением жизненных

задач, но не в конкретном виде, а именно моделей задач, немного, может быть, абстрактных,

но по сути аналогичных жизненным ситуациям. Для меня изучать математику - это значит

развивать какие-то свои способности. Математика - это часть культуры человеческой. Значит,

изучать математику, как в общем - то любую науку, - это значит строить свою личность".

Учились слушать и слышать других, так как на каком-то этапе работы пришло понимание

того, что для формирования своей собственной личностной позиции или гипотезы необходимо

определить, что ты не приемлешь в представлениях других людей. А для этого надо слышать

мнения и рассуждения других.

Ребятами ощущалась на этих уроках значимость и востребованность своего собственного

взгляда на геометрию и на свое продвижение в ней.

2)

Учились

приемам

культурного

логического

мышления,

когда

выделяли

элементы

данного процесса: умение дать определение понятиям, сформулировать цель своей

деятельности,

выстроить

непротиворечивую

логическую

цепочку

доказательств,

анализировать условие задачи и ее результат и др.; пытались освоить эти приемы на

материале задач геометрии.

3)

Учились

видеть

и

понимать

способ

своей

работы,

в

частности,

при формировании

приемов логического мышления. Для этого постоянно проводили рефлексию своей

деятельности по отношению к целям, а также самого пути и способа деятельности.

Правда, это получалось не очень хорошо, так как мы еще толком не понимали, что же такое

способ работы, способ деятельности и, что именно должно быть предметом рефлексии, чтобы

этот способ выделить.

4)

Учились видеть границы использования того или иного подхода к самому процессу

познания. Ограниченность тех или иных методов решения задач. Ограниченность

самого задачного подхода к познанию действительности. Ограниченность логического

мышления, как метода (или способа) работы не только в жизненных, но и в строго

научных ситуациях.

Но об этом можно говорить лишь тогда, когда метод логического мышления уже хорошо

освоен. Иначе можно совершить ошибку: собственное некорректное владение методом можно

объяснить ограниченностью самого метода. И все же вопросы о праве на существование

других способов мышления (не только логического) возникали в нашей работе постоянно.

5)

При этом, конечно, мы осваивали и аксиоматический метод работы с геометрическими

понятиями и задачами, его дедуктивный принцип.

6)

И так как все это происходило в основном на конкретном материале курса геометрии

средней школы (хотя и не только), мы изучили и программный материал этого курса,

стараясь постичь логику и целостность его изложения и возможности дальнейшего

развития. При этом мы отметили преимущество изложения всего курса геометрии (по

Погорелову) в одном учебном пособии, что позволяло нам видеть целостность данной

конструкции, а ребятам осваивать материал, сообразуясь со своим индивидуальным

темпом, своими интересами.

7)

Учились самоопределению, так как перед учащимися и учителем постоянно стоял

вопрос о выборе цели, пути, материала, темпа своего движения; выбор кооперантов в

этом движении, средств обучения формирования и развития собственных ценностей в

процессе обучения, в частности, при изучении математики и выборе актуальных для

каждого способностей.

II. Проблемы и перспективы роста.

Конечно,

реализовать

полностью

эти

задачи

мы

не

могли

ни

за

год,

ни

за

два.

И

эта

нереализованность подвигала ребят и учителя к дальнейшей работе. Перед учителем стояла

задача подвергнуть критическому анализу свой собственный способ работы с целью его

дальнейшего развития. Прежде всего, нужно было изменить сам подход к формированию цели

и у учителя, и у учеников. Учитель видел необходимость введения и обсуждения хотя бы

первоначальных

критериев,

способствующих

осмыслению

собственного

движения

в

математике.

И одним из таких критериев стало выделение единицы: математики, геометрии, задачи и

вообще любой деятельности. Мы взяли за основу то, что для изучения математики нужно

выделить ее единицу. Чтобы решить задачу - нужно выделить единицу задачи, а для педагога -

единицу

собственной

педагогической

деятельности,

что

является,

с моей

точки

зрения,

наиболее сложным процессом. При этом подразумевается, что у разных людей эта единица

(математики, задачи, геометрии) может быть сформулирована различным образом. И это

нормально, только нужно создавать условия для ее обсуждения, рефлексии, соотнесения со

своей деятельностью при изучении математики или при решении задач. Здесь следует сказать,

что на каком-то этапе учитель вынужден достаточно жестко ставить эти вопросы перед собой

и отвечать на них. Это не означает, что ответ должен быть окончательно сформулирован. Но

свое представление у учителя должно быть. Здесь мы попытаемся показать развитие взглядов

на единицу математики у учителя и у учеников в их совместной работе.

Что значит изучать математику? В чем ее смысл?

-Изучать математику - это значит осваивать способы логического мышления, способы и

методы

постановки

и

решения

задач,

способы

абстрагирования

и

математического

моделирования конкретных жизненных процессов (идеализация) с помощью математических

символов и понятий. И, наверное, это значит изучать сам аксиоматический метод построения

и развития математики.

В чем состоит единица математики? - изначально ответ на этот вопрос был таким: это

аксиоматическим образом заданное поле основных математических понятий и операций над

этим полем понятий.

III. Презентация курса математики.

Отталкиваясь от этих первоначальных представлений, учитель шел в начале учебного года на

урок

презентации

математики

с

целью

попытаться

определить

смысл

и

цель

изучения

математики в совместной работе с ребятами. Смысл для каждого ученика этого процесса мог

состоять в определении тех собственных способностей, которые могли быть развиты при

изучении курсов алгебры и геометрии. А для этого нужно было представить каждому из

участников процесса, каким образом он будет двигаться к своей цели. Одним из таких

универсальных

способов

изучения

математики

учениками

был

найден

дедуктивно-

аксиоматический метод, который многие ребята определили для себя в качестве единицы

математики.

"Для меня единицей математики является множество операций над понятиями, вернее над

полем понятий. В математике множество разделов, в каждом свои величины, свое поле

единиц. А вот поле операций над ними, над этими понятиями, я считаю, объединяет эти

разделы в одну науку - математику, и является ее единицей". (Борисова).

"Для меня единица математики - это дедуктивный метод работы с понятиями, так как их

можно приложить к любому разделу математики и его развить далее". (Галактионова Оля).

"Единица математики - это аксиоматический метод, включающий в себя дедуктивный и

индуктивный, так как в основе математики лежат определения основных понятий и аксиом, а

все остальные понятия и выводы определяются по правилам логики, то есть в результате цепи

логических рассуждений". (Сафонов, Ломакин).

"Единица математики заключается в аксиоматическом методе, методе дедукции. В других

науках чаще используют метод индукции: от наблюдения, от частного - к обобщениям, к

законам. В математике тоже иногда применяют индуктивный метод при доказательстве, но все

же она строится как дедуктивная наука: для каждого раздела задается общее поле понятий и

аксиом, а затем с помощью этих аксиом и операций над полем понятий получаем другие

понятия, выводы, доказываем теоремы и решаем задачи". (Гаврикова, Гуслякова, Гришаева,

Максимов и др.).

Таким образом, становилось понятным, что для изучения какого- либо раздела математики

необходимо

разобраться

с

математическими

понятиями

этого

раздела

и

определить

исчерпывающую систему аксиом и операций, налагаемых на эти величины, и попытаться

выстроить теоретическую концепцию. Было отмечено, что выделение единицы возможно на

любом этапе работы в области математики: и при разработке теоретических положений, и при

решении задач, как культурно-исторических образований, так и возникающих при решении

различных проблем в области математики и в жизни.

"Если

единица

математики

-

это

различные

действия

над

каким-то

полем

понятий

дедуктивным методом, то единицей задачи можно считать какую-то величину или действие,

которая как-либо связывает все компоненты задачи, и, выделив которую, можно легко решить

задачу". (Гаврикова).

"Задача, как мне кажется, - это идеализированная, то есть переведенная в символы и схемы,

упрощенная проблема, не учитывающая всех сложностей реальной ситуации. И если единица

математики - это метод каких-то основных операций над математическими величинами, то

единица задачи - это какой-то ее элемент или действие, с помощью которого можно найти,

объяснить или доказать то, что требуется в задаче, используя этот элемент (или действие) как

ключевой" (Ломакин).

"Единица математики - это аксиоматический метод, объединяющий все методы математики.

Единица задачи - это способ решения задачи. Единица проблемы - это преобразование

проблемы до стадии задачи с целью ее разрешения" (Феденева).

"Единица задачи - это мои мысли, рассуждения, основные штришки, которые в дальнейшем

помогают решить задачу" (Борисова, Галактионова).

"Единица математики и задачи заключается в одном - аксиоматическом методе" (Гуслякова).

И, конечно, на уроках презентации ребятам была предоставлена возможность определиться в

своем собственном представлении данного предмета, раздела или науки, выбрать для себя

тему, способ и цель работы соответственно своим возможностям, интересам и потребностям.

Вот мнение учеников 8"А" класса об уроках презентации, поводимых в начале учебного

года по разным предметам.

"Лично мне презентация помогла посмотреть на все предметы по- новому; не как на уроки с

обязательной «отсидкой» часов и изучения заданной кем-то программы, а как на уроки

полезные и интересные лично для меня" (Горшкова).

"Я понял, что я смогу на каждом уроке изучать то, что я хочу изучать по этому предмету".

(Ломакин).

"Я поняла, что для меня важны уроки биологии и математики, так как биология мне

нравится, и я хочу расширить свои знания в этом предмете, а на математике - научиться

мыслить" (Феденева).

"На презентации учителям в основном удалось раскрыть курс, глубину предмета. И хотя мне

презентация не была нужна, но так как она прошла, то она мне пригодилась для большего

понимания самой себя, моих интересов и способностей в предмете" (Разбегаева).

"Мне понравились уроки истории, потому что, по-моему, учитель смог заинтересовать меня

своим предметом. На математике мы пытались понять, для чего мы изучаем математику и

я поняла, как я буду изучать этот предмет, и что хочет учитель. Вообще-то каждый

учитель пытается рассказать, что мы будем изучать в этом году на его уроках, но не

каждый смог показать, для чего это нужно'' (Домбровская).

"Мне кажется, что учителя представили свой предмет для того, чтобы мы поняли, что мы

будем изучать в этом году, дать нам возможность выбрать интересный лично каждому

раздел или тему той или иной науки" (Семигина).

Нельзя сказать, что неделя презентации была осмыслена всеми учителями и учениками.

Ребята отмечают, что презентация для них состоялась лишь по нескольким предметам, а для

кого-то

не

состоялась

вовсе:

"учителя

пытались

заинтересовать

нас,

но

большинство

учителей проводили обычные уроки. Для меня имело значение то, что я понял, как можно

развить логическое мышление" (Сафонов).

"Я

вообще

не

чувствовала

этой

презентации,

хотя

на

истории

ее

можно

было

почувствовать, так как мы сами выбирали свою историю. Я думаю, что учителя, которые не

делают

презентацию

своих

курсов,

хотят,

чтобы

мы

учились

по

обычной

программе"

(Борисова).

"Не все учителя хорошо провели презентации. Для меня состоялась презентация по истории

и геометрии. Здесь она помогла мне разобраться, чем я хотела бы заниматься и как это

делать. То есть я могу к этому готовиться и выстраивать свой план работы" (Гуслякова).

"Я не поняла, зачем мне это было нужно" (Вдовина).

"Мне эта неделя не понравилась. Больше нравятся обычные уроки. Учителя старались

вовлечь ребят в свой предмет. Но я не поняла, зачем это нужно мне и зачем это нужно

вообще" (Абрамова).

Полярность

мнений

ребят

о

неделе

презентации

еще

раз

подтвердила

ту

истину,

что

в

образовательном процессе учитель и ученик - равноценные и равноправные партнеры, и что

образование личности может состояться только в условиях самоопределения этой личности,

готовности выхода ее на самообразование, на выстраивание собственного плана развития

своих способностей. И поэтому, возможно, презентация не состоялась для тех ребят, которые

стояли в позиции пассивного потребителя информации и ждали, когда же их заинтересуют

учителя чем-то интересным. Учителям же не удалось выстроить на этих уроках ситуацию, в

которой эти ученики поменяли бы роль объектов образовательного процесса на роль субъектов

оного. А там, где это удалось, начала складываться совсем другая ситуация и в отношениях

учеников к изучаемому предмету, и в отношениях с учителем.

"Презентации предметов не везде прошли хорошо, так как учителя не совсем были готовы ко

всему

этому, а

ученики

тем

более.

Безусловно,

были

интересные

и

полезные

уроки

презентации,

такие

как

история,

геометрия,

химия.

Мне

еще

очень

понравились

уроки

русского языка и литературы. Мне кажется, что после уроков презентации мы лучше стали

понимать, что будем изучать, сможем выстраивать свою линию, спорить с учителем по

поводу того или иного курса, так как заранее будем знать, к чему готовиться в течение

года" (Галактионова).

Во время уроков презентации по математике мы вместе с ребятами пытались ответить для

себя на вопросы:

1)

что значит изучать математику?

2)

каким образом это делать?

3)

зачем это нужно мне?

Большинство согласилось с мыслью, что математика развивает мышление человека и с ее

помощью можно освоить методы и способы решения задач, и не только математических. А

значит, изучать математику - это и осваивать способы решения задач и проблем, и учиться их

переносить на жизненные ситуации.

"Математика имеет для меня конкретный смысл. Он состоит в том, чтобы научиться

достигать своих целей, может быть напрямую и не связанных с математикой. Если в жизни

у меня возникают проблемы, но я нахожу способы их разрешения, значит, я свожу проблемы

к задачам и остается лишь найти способ, как применить решение этой задачи в жизни. Т. е.

задача

-

это

часть

проблемы,

которая

психологически

уже

решена

и

остается

лишь

смоделировать ее решение в логической последовательности и разобраться, как это сделать

в жизни. Решить же проблему - это для меня не только найти выход из создавшейся

ситуации, но и еще попытаться определить свое отношение к этой проблеме, свою позицию,

с которой ее буду рассматривать" (Горшкова).

"Для меня опыт математики - в осмыслении и освоении способов решения любых задач: из

жизни или из любой науки. Поэтому математика для меня - это первооснова науки, так как

вся математика заключается в решении задач. Решать задачу - это значит определить

способ ее решения и выйти на результат. В жизни задачи возникают из конкретных проблем,

поэтому мне надо научиться их решать" ( Галактионова).

"Изучать математику - это значит научиться решать задачи и с их помощью осваивать

способы мышления. Математика раскрывает способы решения задач" (Ионов).

"Поэтому задача – это

важная часть математики, и не только математики, но и,

наверное, всей жизни" (Гаврикова).

"Если единица математики - это способ идеализации живого мира путем выявления его

существенных свойств, признаков и законов, то задача - это конкретизация проблемы,

перевод ее в логическую структуру. Для этого и нужна математика, чтобы научиться

логически работать с этими структурами, научиться конкретизировать любую ситуацию,

переводить ее в задачу и решать" (Гришаева).

"Смысл изучения математики для меня - в открытии все новых и новых знаний, методов и

способов работы и решения задач, которые в дальнейшем помогают развиваться во мне

новым способностям. Поэтому мне важно научиться решать задачи, то есть применять

известные методы и способы решения и искать новые" (Копылов).

Таким

образом,

выкристаллизовалась

одна

очень

важная

для

большинства

ребят

цель

изучения математики: научиться решать задачи, научиться доказывать теоремы и другие

предложения и гипотезы. И тут мы, может быть, впервые задумались над тем, что

такое задача? И что значит решать и решить задачу? Что такое доказательство? И что значит

доказать что-нибудь? Удивительным для ребят был тот факт, что они вроде бы в прошлом году

уже решали задачи на доказательство и доказывали теоремы, но только сейчас впервые

задумались над понятием и процессом доказательства и не смогли сходу прояснить для меня и

для

других

это

понятие

и

механизм

доказательства.

Изначально

появились

формальные

определения, с которыми непонятно было, как работать.

-Доказательство - это рассуждение. - Любое?"

-Да нет, логическое рассуждение.

-Значит, чтобы что-то доказать, мне надо просто логически рассуждать? А что значит

рассуждать?

-Нет.

Доказательство

-

это

выстраивание

причинно-следственной

логической

цепочки

предложений.

В

этом

уже

что-то

есть.

Давайте

на

примере

доказательства

любой

задачи

и

теоремы

посмотрим, что мы делаем, когда доказываем.

Задача:

Доказать,

что

диагонали

ромба

пересекаются

под

прямым

углом

и

являются

биссектрисами его углов.

О чем эта задача? - О ромбе, который является параллелограммом с равными сторонами.

Что мы еще знаем о параллелограмме?

-Что у них противоположные стороны и углы равны.

-Что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

А откуда мы это знаем?

-Мы это доказывали ранее, опираясь на теорему о параллельных прямых и секущей (признак

параллельности прямых) и теоремы о равенстве треугольников.

А как мы эти теоремы доказали, помните?

-Да,

мы

их

доказывали,

опираясь

на

известные

аксиомы

геометрии:

аксиомы

принадлежности, аксиомы порядка, аксиомы параллельности и др.

Ученик: «Получается,

что

мы

действовали

аксиоматическим

методом

через

единицу

геометрии:

выделили

систему

основных

первичных

понятий,

наложили

на

них

систему

основных аксиом и операций и вышли на развивающуюся систему других понятий, теорем и

теоретических конструкций геометрии».

Учитель: Так из каких же предложений строилось наше доказательство?

- из аксиом, определений основных понятий, ранее доказанных теорем.

Учитель: Попытаемся теперь выявить математические предложения, участвующие в этом

доказательстве.

Как

же

это

доказательство

можно

записать

в

виде

конечной

последовательности предложений.

Ученик: по-видимому так:

а)

АВСД - ромб,

б)

АО = СО,

в)

ABC - равнобедренный треугольник,

г)

ВО - медиана треугольника ABC,

д)

ВО - высота треугольника ABC,

е)

ВД АС, что и требовалось доказать.

Учитель:

Очень

хорошо.

А

теперь

попытаемся

выяснить,

какие

еще

предложения

используются в этом доказательстве, хотя они явно не высказаны. Например, откуда следует

предложение б)?

Ученик: из того, что АВСД - ромб, т. е. из предложения а), т. к. если АВСД - ромб, то АВСД

- параллелограмм, а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Учитель: Забыли включить предложение: "О - точка пересечения диагоналей". Кроме того, из

ваших

рассуждений

возьмем

еще

два

предложения:

"если

АВСД

-

ромб,

то

АВСД

-

параллелограмм" и "если АВСД - параллелограмм и О - точка пересечения диагоналей, то АО

= СО". Нужно еще выяснить, откуда следует, что ABC - равнобедренный треугольник и ВО -

высота треугольника.

Ученик: Так как АВСД - ромб, то АВ = ВС, т. е. ABC - равнобедренный треугольник, и

поэтому медиана ВО будет также высотой.

Учитель: Теперь, кажется, можно попытаться записать полное доказательство, т. е. такую

конечную

последовательность

предложений,

которая

окончилась

бы

доказываемым

предложением, и содержала бы все необходимые, и только те предложения, которые нужны

для установления истинности последнего. Будем пользоваться записью в два столбика, причем

справа будем указывать, в каком качестве каждое предложение

входит в доказательство (анализ доказательства). Кто попробует это сделать.

И далее следует подробное доказательство учеником теоремы о свойстве диагоналей

ромба со всеми обоснованиями и ссылками, которое есть в любом учебнике математики.

Поэтому, я его опускаю. Всего получилось 19 предложений.

Последние предложения 18 и 19 есть доказываемые, то, что требовалось доказать.

Учитель: Так что же такое доказательство и что значит доказать теорему?

Ученик:

Доказательство

можно

определить

как

конечную

последовательность

предложений, каждое из которых либо аксиома, либо ранее доказанная теорема, либо

следует из каких-нибудь предшествующих ему в этой последовательности предложений

по правилу подстановки или равенства, или по определению; а последнее предложение

есть доказываемое.

Значит, искусство доказательства состоит в разработке и формулировке исчерпывающей

системы математических предложений, приводящих к цели.

Учитель:

Здесь,

правда,

еще

много

неясного.

Например,

что

такое

математическое

предложение, как оно устроено и чем отличается от нематематического? Хотелось бы

точно знать, что из чего следует? и что такое следование в математике. И вообще, как мы

доказываем в математике. Но это тема наших следующих занятий. СПАСИБО!